Homework 5
姓名: 刘欣楠 班级: 数学强基 2301 学号: 2233310237
1
一个商店经销白糖（可任意分割），每周顾客对白糖的需求量 X（单位：公斤）在区间 [10,30] 上服从均匀分布。商店每售出一公斤白糖可获利 500 元；若供大于求，每处理一公斤白糖亏损 100 元；若供不应求，商店可从外部调剂供应，这时每公斤白糖获利 300 元。如何确定进货量，才能使商店所获平均利润达到最大。建立完整的随机优化模型，解出最优解。
则利润为 $\pi(q,x)=\begin{cases}
600x-100q, & q\geqslant x\\
300x+200q, & q\leqslant x
\end{cases}$ (1) $0\leqslant q \leqslant 10$: 此时总是缺货 $\pi(q,x)=300x+200q$ $E(\pi(q,x))=E(300x)+200q$. 当 $q=10$ 时取最大值 $8000$. (2) $10<q<30$: 经积分计算此时期望为
$$
E[\pi(q,x)]=-7.5q^2+350q+5250.
$$
当 $q=\frac{70}{3}$ 的时候取最大值, 利润为 $9333+\frac13$. (3) $q\geqslant 30$: 此时总是剩余, 当 $q=30$ 时期望最大 $E[\pi(q,x)]=9000$. 综上, 全局最优为 $q=\frac{70}{3},\quad E[\pi(q,x)]=\frac{28000}3$.
答案
2
某食品商店经营一种饼干，其进货价是 2.5 元/千克，销售价是 4.9 元/千克，当天卖不掉的 以 1.5 元/千克处理掉，据市场调查，每天的需求量可能为 10，15，20，25，30 千克，对应 的概率分别为 0.1，0.2，0.4，0.2，0.1，如何采购使得期望利润最大。建立完整的随机优化 模型，解出最优解。
根据报童模型临界比率 $\frac{p-c}{p-v}=\frac{4.9-2.5}{4.9-1.5}=0.70588$. 结合需求量的概率 $F(25)=0.9>0.705, F(20)=0.7<0.705$ 最小的 $q=25$. 此时期望为 $E[\pi]=41.3$答案