251124

2.5.9

设 $H$ 是 Hilbert 空间, $A\in \mathscr L (H)$ 并满足 $$ (Ax,y)=(x,Ay)\quad (\forall x,y\in H) $$ 求证: - (1) $A^*=A$; - (2) 若 $R(A)$ 在 $H$ 中稠密, 则方程 $Ax=y$ 对 $\forall y\in R(A)$ 存在唯一解.

证明

- (1) 对任意的 $y\in H$, 设 $A^*y=y'$, 我们有 $(Ax,y)=(x,y')\quad\forall x\in H$, 根据题设条件得到 $(x,y')=(Ax,y)=(x,Ay)$, 从而有 $Ay=y'$. 即 $Ay=A^*y(\forall y\in H)$. 故 $A=A^*$. - (2) 存在唯一解只需证 $A$ 是单射. 根据 Hilbert 空间的性质 $\text{Ker}(T^*)=\text{Ran}(T)^\perp$. 又 $R(A)$ 在 $H$ 中稠密, 从而 $\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^*)=\text{Ran}(A)^\perp=\{0\}$. 即 $A$ 是单射, 只有唯一解.

2.5.12

设 $\mathscr X,\mathscr Y$ 是 $B$ 空间, $T$ 是 $\mathscr X$ 到 $\mathscr Y$ 的线性算子, 又设对 $\forall g\in\mathscr Y^*$, $g(Tx)$ 是 $\mathscr X$ 上的有界线性泛函, 求证: $T$ 是连续的.

证明

考虑 $G=\{g:\Vert g \Vert=1\}$. 那么由 Hahn-Banach 定理可得 $\forall x\in X$ $$ \sup\limits_{g\in G}|gT(x)|=\sup\limits_{g\in G}|g(Tx)|=\Vert Tx \Vert<\infty $$ 从而由一致有界定理知存在 $M>0$ 使得 $\Vert gT \Vert\leqslant M \forall g\in G$.

所以 $$ \Vert Tx \Vert=\sup\limits_{g\in G}|gT(x)|\leqslant M\Vert x \Vert $$ 即 $\Vert T \Vert\leqslant M$, $T$ 有界. 从而 $T$ 是连续的.

2.5.19

设 $H$ 是 Hilbert 空间, 求证: 在 $H$ 中 $x_n\to x(n\to\infty)$ 的充要条件是 - (1) $\Vert x_n \Vert\to\Vert x \Vert\ (n\to\infty)$; - (2) $x_n\rightharpoonup x\ (n\to\infty)$.

证明

"$\Rightarrow$:" (1) 显然, (2) 有 $|f(x_n-x)|\leqslant \Vert f \Vert\cdot\Vert x_n-x \Vert\to 0$.

"$\Leftarrow$:" $\Vert x_n-x \Vert^2=(x_n-x,x_n-x)=(x_n,x_n)+(x,x)-2\text{Re}(x_n,x)$. 其中由 (1) $(x_n,x_n)=\Vert x_n \Vert^2\to\Vert x \Vert^2$.

由 Riesz 表示定理, 存在 $f\in H^*$ 满足 $f(y)=(y,x)\forall y\in H$. 从而 $f(x_n)=(x_n,x)$, 再由 (2) 得到 $f(x_n)\to f(x)$. 故 $(x_n,x)\to (x,x)=\Vert x \Vert^2$. 从而 $\Vert x_n-x \Vert^2\to 0$. 即 $x_n\to x$.

2.5.22

设 $\mathscr X$ 是自反的 $B$ 空间, $M$ 是 $\mathscr X$ 中的有界闭凸子集, $\forall f\in\mathscr X^*$, 求证: $f$ 在 $M$ 上达到最大值和最小值.

证明

对于最大值 $\sup\limits_{x\in M}f(x)$, 根据上确界的定义, 存在 $\{x_n\}\subset M$, 满足 $f(x_n)\to f(x_0)$. 由 $X$ 是自反空间 $M$ 有界, 从而 $\{x_n\}$ 是自反空间中的有界列, 从而有弱收敛子列记作 $\{x_{n_k}\}$. 再根据 $M$ 是闭凸子集, 由 Mazur 定理知 $M$ 是弱闭集, 从而 $x_{n_k}\rightharpoonup x'\in M$, 又弱收敛的唯一性及 $f(x_{n_k})\to f(x_0)$, 得到 $x'=x_0$. 即 $x_0\in M$. 从而能取到最大值.

最小值同理, 考虑 $-f$ 即可.

2.5.23

设 $\mathscr X$ 是自反的 $B$ 空间, $M$ 是 $\mathscr X$ 中的非空闭凸子集, 求证: $\exists x_0\in M$, 使得 $\Vert x_0 \Vert=\inf\lbrace\Vert x \Vert|x\in M\rbrace$.

证明

由下确界的定义, 存在 $\{x_n\}$ 满足 $\Vert x_n \Vert\to \inf\{\Vert x \Vert|x\in M\}\triangleq V$. 由极限定义知存在 $N$ 满足 $n>N$ 时 $|\Vert x_n \Vert-V|<1$ 从而 $\{x_n\}$ 有界.

其余过程同上题.