251117

2.4.4

设 $\mathscr X$ 是 $B^*$ 空间, $\{x_n\}$ 是 $\mathscr X$ 中的点列. 如果 $\forall f\in \mathscr X^*$, 数列 $\{f(x_n)\}$ 有界, 求证: $\{x_n\}$ 在 $\mathscr X$ 内有界.

证明

考虑第二共轭空间的自然嵌入 $J_x(f)=f(x)$. 有 $\Vert J_x \Vert=\Vert x \Vert$.

由 $\forall f$ $\{f(x_n)\}$ 有界, 即对于 $\{J_{x_n}\}$ 来说点点有界, 那么根据一致有界定理知存在 $M$, 满足 $\norm{J_{x_n}}\leqslant M$.

又 $\Vert x_n \Vert=\norm{J_{x_n}}$. 从而 $\{x_n\}$ 有界.

2.4.6

设 $\mathscr{X}$ 是 $B^{*}$ 空间. 给定 $\mathscr{X}$ 中 $n$ 个线性无关的元素 $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ 与数域 $\mathbb{K}$ 中的 $n$ 个数 $C_{1},C_{2},\dots,C_{n}$, 及 $M>0$.

求证: 为了 $\exists\, f\in \mathscr{X}^{*}$ 适合 $f(x_{k})=C_{k}$（$k=1,2,\dots,n$）, 以及 $\|f\|\le M$, 必须且仅必须对任意的 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{K}$ 有

\left|\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} C_{k}\right| \le M \left| \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} x_{k} \right|.

证明

$\Rightarrow$: 根据算子范数的定义, 我们有 $$ \frac{|\sum\limits_{k}f(\alpha_k x_k)|}{\norm{\sum\limits_{k}\alpha_k x_k}}\leqslant\Vert f \Vert\leqslant M $$ 从而 $$ |\sum\limits_{k}\alpha_kC_k|\leqslant M\norm{\sum\limits_{k}\alpha_k x_k}. $$

$\Leftarrow$: 设 $Y=\text{span}\{x_1,\ldots,x_n\}$, 由于 $\{x_k\}$ 线性无关, 所以 $Y$ 中元素可表示为 $\sum\limits_{k}\alpha_k x_k$. 再设 $g(\sum\limits_{k}\alpha_k x_k)=\sum\limits_{k}\alpha_k C_k$, 显然是 $Y$ 上的线性泛函, 且由条件受 $M\norm{\sum\limits_{k}\alpha_kx_k}$ 控制, 那么由 Hahn-Banach 定理可以将 $g(x)$ 延拓到 $X$ 上. 且满足 $f(x)=g(x), x\in Y$, $|f(x)|\leqslant M\Vert x \Vert$.

2.4.7

给定 $B^*$ 空间 $\mathscr X$ 中 $n$ 个线性无关的元素 $x_1,x_2,\cdots,x_n$, 求证: $\exists f_1,f_2,\cdots,f_n\in \mathscr X^*$, 使得 $$ (f_i,x_j)=\delta_{ij}. $$

证明

令 $Y=\text{span}\{x_1,\ldots,x_n\}$, 由于 $\{x_n\}$ 线性无关, 故 $Y$ 中元素可表示为其线性组合, 设 $g_i:Y\to\mathbb K$, $g_i(\sum\limits_{k}\alpha_k x_k)=\alpha_i$.

显然 $g_i$ 是 $Y$ 上的连续泛函, 从而有界. 那么根据上题结论知, 可以延拓到 $X$ 上且满足 $g_i(x_j)=\delta_{ij}$.

2.4.12

设 $C$ 是实 $B^{*}$ 空间 $\mathscr{X}$ 中的一个凸集, 并设 $x_{0}\in \overset{\circ}{C}$, $x_{1}\in \partial C$, $x_{2}=m(x_{1}-x_{0})+x_{0}$ (m>1). 求证: $x_{2}\notin C$.

证明

反设 $x_2\in C$, 那么线段 $[x_0,x_2]\subset{C}$, 由 $x_0\in\overset{\circ}{C}$,存在 $r>0$, $B(x_0,r)\subset C$.

由 $x_1=\frac{1}{m}x_2+(1-\frac1m) x_0$.

取 $\Vert u \Vert<(1-\frac1m)r$. 从而 $x_0+\frac{u}{1-1/m}\in C$. 则 $x_1+u=\frac1m x_2+(1-\frac1m)(x_0+u/(1-\frac 1m))\in C$.

从而 $B(x_1,(1-\frac 1m)r)\subset C$. 即 $x_1\in\overset{\circ}{C}$ 与 $x_1\in\partial C$ 矛盾.

2.4.13

设 $M$ 是 $B^{*}$ 空间 $\mathscr{X}$ 中的闭凸集, 求证: $\forall x\in \mathscr{X}\setminus M$, 必 $\exists\, f_{1}\in \mathscr{X}^{*}$, 满足 $\|f_{1}\| = 1$, 并且

\sup_{y\in M} f_{1}(y) \leqslant f_{1}(x) - d(x),

其中

d(x) = \inf_{z\in M}|x - z|.

证明