Hahn-Banach 定理
则称 $P(\cdot)$ 是 $\mathscr X$ 上的一个次线性泛函.
定义 4.1.1 次线性泛函
注 4.1.2 半范数
则称为偏序关系.
定义 4.1.3 偏序
完全性: 若对任意两个元素 $x,y\in A$ 要么 $x\prec y$ 要么 $y\prec x$ 则称 $\prec$ 为全序关系.定义 4.1.4 全序
如果它的每个全序子集有一个上界, 那么 $\mathscr X$ 有一个极大元.
定理 4.1.5 Zorn 引理
定理 4.1.6 实 Hahn-Banach 定理
$\forall x_1\in \mathscr X\setminus \mathscr X_0$, 令 $\mathscr X_1:=\{x_0+\alpha x_1:x_0\in\mathscr X_0\}$. 若 $f_0$ 能延拓到 $\mathscr X_1$ 成为 $f_1$, 则
$$
f_1(x_0+\alpha x_1)=f_0(x_0)+\alpha f_1(x_1).
$$
要 $f_1$ 在 $\mathscr X_1$ 上受 $p$ 控制, 只需 $\forall x_0\in \mathscr X_0$ 下列条件成立:
- (1) $\alpha=0$ 时, 要求 $f_1(x_0+\alpha x_1)=f_0(x_0)\leqslant p(x_0)$ 显然成立.
- (2) $\alpha>0$ 时, 要求 $f_1(x_0+\alpha x_1)\leqslant p(x_0+\alpha x_1)$. 由次线性泛函的正齐次性等价于 $f_1(x_0/\alpha+x_1)\leqslant p(x_0/\alpha+x_1)$. 再根据 $\mathscr X_0$ 是线性子空间等价于 $f_1(y+x_1)\leqslant p(y+x_1)\ (\forall y\in \mathscr X_0)$. 即 $f_0(y)+f_1(x_1)\leqslant p(y+x_1)$.
- (3) $\alpha<0$ 时, 要求 $f_1(x_0+\alpha x_1)\leqslant p(x_0+\alpha x_1)$. 等价于对 $\alpha>0$ 满足 $f_1(x_0-\alpha x_1)\leqslant p(x_0-\alpha x_1)$. 同 (2) 即 $f_0(z)-f_1(x_1)\leqslant p(z-x_1)\ (\forall z\in\mathscr X_0)$. 结合 (2), (3) 能够延拓只要满足 $f_0(z)-p(z-x_1)\leqslant f_1(x_1)\leqslant p(y+x_1)-f_0(y)\ (\forall y,z\in \mathscr X_0)$. 即只要 $\sup\limits_{z\in\mathscr X_0} f_0(z)-p(z-x_1)\leqslant\inf\limits_{y\in\mathscr X_0}p(y+x_1)-f_0(y)$. 就可以构造这样的 $f_1(x_1)$. 从而做到延拓一维. 第二步(延拓到$\mathscr X$ 上). 定义 $$\mathscr F:=\left\lbrace (\mathscr X_\lambda, f_\lambda):\begin{cases}
f_\lambda \in \mathscr X_\lambda^*;\\
\mathscr X_0\subset \mathscr X_\lambda \subset \mathscr X;\\
f_\lambda(x)=f_0(x)\quad (\forall x\in\mathscr X_0);\\
f_\lambda(x)\leqslant p(x)\quad (\forall x\in\mathscr X_\lambda).
\end{cases}\right\rbrace$$ 在 $\mathscr F$ 上引入二元关系: $(\mathscr X_{\lambda_1},f_{\lambda_1})\prec (\mathscr X_{\lambda_1},f_{\lambda_2})\Leftrightarrow\begin{cases}
\mathscr X_{\lambda_1}\subset\mathscr X_{\lambda_2},\\
f_{\lambda_1}(x)=f_{\lambda_2}(x)\ (\forall x\in\mathscr X_1).
\end{cases}$
由于关系中要求的 $\mathscr X_{\lambda_1}\subset\mathscr X_{\lambda_2}$ 是偏序关系, 所以 $\prec$ 至多是偏序关系. 进一步验证显然可得 $\prec$ 是偏序关系. 而对于其每个全序子集, 一定有 $\mathscr X_{\lambda_1}\subset\mathscr X_{\lambda_2}\subset\cdots$ 但整体集合有上界 $\mathscr X$, 从而一定有上界. 进而由 Zorn 引理知 $(\mathscr F,\prec)$ 存在极大元, 记为 $(\mathscr X_{\Lambda},f_\Lambda)$. 下证 $\mathscr X_\Lambda=\mathscr X$. 反证法, 如果不相等那么根据第一步可以再延拓一维从而与极大性矛盾. 所以说这个极大元就是满足条件的, 定义在整个 $\mathscr X$ 上的线性泛函.
证明
定义 4.1.7 复 Hahn-Banach 定理
那么根据实 Hahn-Banach 定理存在 $\mathscr X$ 上的实线性泛函 $g$. 是由 $g_0$ 延拓并受 $p$ 控制. 定义 $f(x)=g(x)-\text{i} g(\text{i} x)$. 则 $\forall x\in\mathscr X_0$, $$\begin{aligned}
f(x)&=g_0(x)-\text{i} g_0(\text{i} x)=\text{Re} f_0(x)-\text{i} \text{Re}f_0(\text{i} x)\\
&=\text{Re} f_0(x)-\text{i} \text{Re}[\text{i} f_0(x)]=\text{Re}f_0(x)+\text{i}\text{Im}f_0(x)=f_0(x).
\end{aligned}$$
又 $\forall x\in\mathscr X$ 有 $f(\text{i} x)=g(\text{i} x)-\text{i} g(-x)=\text{i} [g(x)-\text{i} g(\text{i} x)]=\text{i} f(x)$. 因此 $f$ 是复线性的. 下面验证 $f$ 受 $p$ 控制. $f(x)=0$ 时显然受 $p$ 控制. 对于 $f(x)\neq 0$ 的情形: 设 $\theta:=\theta(x)=\arg f(x)$ 便有
$$
|f(x)|=e^{-\text{i} \theta}f(x)=f(e^{-\text{i} \theta})\text{Re}f(e^{-\text{i} \theta}x)=g(e^{-\text{i} \theta})\leqslant p(e^{-\text{i}\theta})=p(x).
$$
证明
此时, 称 $f$ 为 $f_0$ 的保范延拓.
定理 4.1.8 Hahn-Banach 定理; 保范延拓
根据复(实) Hahn-Banach 定理存在 $f\in\mathscr X^*$ 满足: $f(x)=f_0(x)\ (\forall x\in\mathscr X_0)$; $|f(x)|\leqslant p(x)\ (\forall x\in\mathscr X_0)$. 由延拓条件 $\Vert f \Vert\geqslant\Vert f_0 \Vert_{\mathscr X_0^*}$. 因为泛函的范数是上确界, 延拓后的范围包括子空间. 由受 $p$ 控制 $\Vert f \Vert_{\mathscr X^*}\leqslant\Vert f_0 \Vert_{\mathscr X_0^*}$. 因为移项可得 $\dfrac{|f(x)|}{\Vert x \Vert}\leqslant \Vert f_0 \Vert_{\mathscr X_0^*}$.
证明
注 4.1.9 $\mathscr X$ 可分时, Hahn-Banach 定理的证明可以不用 Zorn 引理
推论 4.1.10 Hahn-Banach 定理推论; 直接称作 Hahn-Banach 定理
证明