紧集
定义 3.6.1 紧集
定义 3.6.2 紧集
性质 3.6.3
即证明 $\forall x \in A^c$, 存在包含 $x$ 的开集包含于 $A^c$. $\{ B(y, \tfrac{1}{3}\rho(y, x)) : y \in A \}$ 构成 $A$ 的开覆盖. $A$ 是紧集, 所以 $\exists y_1, y_2, \dots, y_N \in A$ 使 $$ \bigcup_{k=1}^N B\bigl(y_k, \tfrac{1}{3}\rho(y_k, x)\bigr) \supset A. $$ $$ B\bigl(x, \tfrac{1}{3}\rho(x, y_k)\bigr) \subset B^c\bigl(y_k, \tfrac{1}{3}\rho(y_k, x)\bigr). $$ 于是 $$ x \in \bigcap_{k=1}^N B\bigl(x, \tfrac{1}{3}\rho(x, y_k)\bigr)
\subset \bigcap_{k=1}^N B^c\bigl(y_k, \tfrac{1}{3}\rho(y_k, x)\bigr)
\subset A^c. $$证明
性质 3.6.4
则 $\{V_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda} \cup \{M^c\}$ 构成 $A$ 的一族开覆盖. $A$ 是紧集, 故 $\exists \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$ 使 $$ \bigcup_{k=1}^N V_{\alpha_k} \cup M^c \supset A. $$ 而 $M \subset A$, 于是 $$ \bigcup_{k=1}^N V_{\alpha_k} \supset M. $$证明
性质 3.6.5
任取 $\alpha_1 \in \Lambda$, 寻找 $F_{\alpha_1}$ 的开覆盖. 由于 $\bigcap_{\alpha \in \Lambda} F_{\alpha} = \varnothing$, 所以 $$ F_{\alpha_1} \cap \biggl( \bigcap_{\alpha \in \Lambda \setminus {\alpha_1}} F_{\alpha} \biggr) = \varnothing. $$ 于是 $$ F_{\alpha_1} \subset
\biggl( \bigcap_{\alpha \in \Lambda \setminus {\alpha_1}} F_{\alpha} \biggr)^c
= \bigcup_{\alpha \in \Lambda \setminus {\alpha_1}} F_{\alpha}^c
\quad \text{(De Morgan 法则)}. $$ $F_{\alpha_1}$ 是紧集, 故 $\exists \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_N \in \Lambda$ 使 $$ F_{\alpha_1} \subset \bigcup_{k=2}^N F_{\alpha_k}^c. $$ 于是 $$ \bigcap_{k=2}^N F_{\alpha_k} \subset F_{\alpha_1}^c,
\quad \text{(De Morgan 法则)}. $$ 此即 $$ \bigcap_{k=1}^N F_{\alpha_k} = \varnothing, $$ 矛盾.
证明
引理 3.6.6 用闭集刻画紧集
$$ \bigcup_{\alpha \in \Lambda} V_{\alpha} \supset A. $$ 所以 $$ \bigcap_{\alpha \in \Lambda} V_{\alpha}^c \subset A^c
\quad \text{(De Morgan 法则: }
\bigl(\bigcup_{\alpha \in \Lambda} V_{\alpha}\bigr)^c
= \bigcap_{\alpha \in \Lambda} V_{\alpha}^c \text{)}. $$ $$ \biggl(\bigcap_{\alpha \in \Lambda} V_{\alpha}^c\biggr) \cap A = \varnothing,
\quad \text{即 } \bigcap_{\alpha \in \Lambda}(V_{\alpha}^c \cap A) = \varnothing. $$ 由引理条件知, $\exists \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$ 使
$
\bigcap\limits_{k=1}^N V_{\alpha_k}^c \cap A = \varnothing.
$ 这说明
$
\bigcap\limits_{k=1}^N V_{\alpha_k}^c \subset A^c,
$
故而
$
A \subset \bigcup\limits_{k=1}^N V_{\alpha_k}.
$
证明
注 3.6.7
$\{x_n\}$ 是 $A$ 中两两互异的点列, 则 $\{x_n\}$ 在 $A$ 中有聚点.
性质 3.6.8
$\forall q \in A$, 存在 $q$ 的一个开邻域 $V_q$ 使 $V_q$ 至多包含 $\{x_n\}$ 中的有限个点. $\{V_q : q \in A\}$ 构成 $A$ 的一族开覆盖. $A$ 是紧集 $\Rightarrow \exists q_1, q_2, \dots, q_N \in A$ 使 $$ \bigcup_{k=1}^N V_{q_k} \supset A \supset {x_n}, $$ 矛盾!
证明
推论 3.6.9
引理 3.6.10
$A$ 是列紧集 $\Rightarrow A$ 是完全有界集 $\Rightarrow$ 存在 $A$ 的有穷 $\tfrac{1}{n}$ 网 $\Rightarrow$ $$ \forall n \in \mathbb{Z}+, \ \exists y_n \in A \text{ 使 } B!\left(y_n, \tfrac{1}{n}\right)
\text{ 不能被 } {V.}} \text{ 中有限个元素覆盖 $$ $A$ 是列紧集, 故 $\{y_n\}$ 有收敛子列 $\{y_{n_k}\}$, 记 $y_{n_k} \to y \ (k \to \infty)$, 则 $y \in A$. 因为 $\{V_{\alpha}\}$ 覆盖了 $A$, 故存在 $\alpha \in \Lambda$ 使 $y \in V_{\alpha}$. 由 $V_{\alpha}$ 是开集知, 存在 $\delta > 0$ 使 $B(y, \delta) \subset V_{\alpha}$. 任取 $z \in B(y_{n_k}, 1/n_k)$, 有 $$ \rho(z, y) \leq \rho(z, y_{n_k}) + \rho(y_{n_k}, y) < 1/n_k + \delta/2 < \delta
\quad (\text{取充分大的 } k \text{ 即可}). $$ 于是 $$ B(y_{n_k}, 1/n_k) \subset B(y, \delta) \subset V_{\alpha}, $$ 矛盾!
证明
定理 3.6.11