压缩映射原理
若存在 $0<\alpha<1$ 是的 $\rho(T(x),T(y))\leqslant\alpha\rho(x,y)\ \forall x,y\in \mathscr X$ 则称 $T$ 是压缩映射.
定义 3.3.1 压缩映射
定义 3.3.2 连续映射
定理 3.3.3
定理 3.3.4 压缩映射定理(Banach 不动点定理)
定理 3.3.5
设 $f\in L^2[a,b], K(\cdot,\cdot)\in L^2([a,b]\times [a,b])$, 证明:
$$
x(t)=f(t)+\lambda\int_a^b K(t,s)x(s)\text{d} s
$$
在 $|\lambda|$ 充分小时有唯一解. 证明定理 \ref{压缩::Tn压缩} (Volterra 积分方程) 设 $K(\cdot,\cdot)\in C([a,b]\times[a,b])$, 证明: 对于任意的 $f\in C[a,b]$ 下列积分方程
$$
x(t)=f(t)+\int_a^t K(t,s)x(s)\text{d} s
$$
总有唯一解 $x\in C[a,b]$. 设 $(\mathscr X,\rho)$ 是完备的度量空间且 $\mathscr X\neq\varnothing$. $T:(\mathscr X,\rho)\to(\mathscr X,\rho)$ 是压缩映射, 即存在 $\alpha\in(0,1)$ 使
$$
\rho(Tx,Ty)\leqslant\alpha \rho(x,y)\quad(\forall x,y\in\mathscr X)
$$
对任意的 $R\geqslant 0$, 定义 $A_R:=\lbrace x\in\mathscr X:\rho(x,Tx)\leqslant R\rbrace$. 证明:
- (1) $\text{diam} A_R\leqslant\frac{2R}{1-\alpha}$.
- (2) 对任意的 $R\geqslant 0$, $A_R$ 是 $\mathscr X$ 中的非空闭子集.
- (3) 利用闭集套定理证明压缩映射定理.练习 3.3.6
题目
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