线性空间、准范数和范数
拓扑结构: 有收敛 (开集) 的定义.
代数结构: 有代数运算的定义.
- 加法和数乘关于拓扑连续, 则构成拓扑向量空间.
- 加法和数乘关于度量连续, 则构成线性度量空间.
- 加法和数乘关于范数连续, 则构成线性赋范空间.
📝定义 2.1.1 范数、赋范线性空间
设
$\mathscr X$ 是线性空间,
$\Vert\cdot\Vert$ 是
$\mathscr X$ 到
$\mathbb{R}$ 的非负实值函数, 满足
- (正定性) $\Vert x\Vert\geqslant 0$ 且 $\Vert x\Vert =0\Leftrightarrow x=0$.
- (齐次性) $\Vert\alpha x\Vert=|\alpha|\Vert x \Vert\ (\forall \alpha\in \mathbb K,x\in \mathscr X)$.
- (三角不等式) $\Vert x+y\Vert\leqslant \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$
则称 $\Vert \cdot \Vert$ 是 $\mathscr X$ 上的范数, 称 $\mathscr X$ 是线性赋范空间, 记作 $B^*$ 空间.
ℹ️注 2.1.2
赋范空间一定是度量空间. 记 $\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert$ 称为范数诱导的度量.
ℹ️注 2.1.3
若不满足正定性, 只满足齐次性和三角不等式则成为半范数.
📝定义 2.1.4 依范数收敛
若 $\lbrace x_n\rbrace \subset\mathscr X, x\in\mathscr X$ 满足 $\Vert x_n-x \Vert\to 0$,
称 $\lbrace x_n\rbrace $ 依范数收敛到 $x$.
📝定义 2.1.5 Cauchy 列
设 $\lbrace x_n\rbrace \subset\mathscr X$. 若 $\Vert x_n-x_m \Vert\to 0$, 则称为赋范空间中的柯西列.
📝定义 2.1.6 Banach 空间
完备的 $B^*$ 空间称为 Banach 空间, 记作 $B$ 空间.
🧪例 2.1.7
$L^p[a,b] \ (1 \leq p < \infty)$ 是
$B$ 空间, 其中
$$
\|u\| := \left( \int_a^b |u(x)|^p \, dx \right)^{1/p}.
$$
🧪例 2.1.8
$L^\infty[a,b]$ 是
$B$ 空间, 其中
$$
\|u\| := \inf_{\substack{m(E_0)=0 \\ E_0 \subset [a,b]}}
\left( \sup_{x \in [a,b] \setminus E_0} |u(x)| \right).
$$
🧪例 2.1.9
$C[a,b]$ 是
$B$ 空间, 其中
$$
\|f\| := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|.
$$
🧪例 2.1.10
$C^k[a,b]$ 是
$B$ 空间, 其中
$$
\|f\| := \max_{n \leqslant k} \max_{t \in [a,b]} |f^{(n)}(t)|.
$$
这里 $f^{(n)}$ 表示对 $f$ 求 $n$ 次导数.
🧪例 2.1.11
能在 $C^\infty[a,b]$ 上定义一个范数使之成为 $B$ 空间吗?
📝定义 2.1.12 级数收敛与绝对收敛
💡定理 2.1.13 完备赋范空间的刻画
设 $(\mathscr X,\Vert \cdot \Vert)$ 是一个 $B^*$ 空间, 则 $\mathscr X$ 完备等价于 $\mathscr X$ 中绝对收敛的级数必收敛.
📝定义 2.1.14
设
$(\mathscr X,\Vert \cdot \Vert_1)$ 和
$(\mathscr X,\Vert \cdot \Vert_2)$ 均为赋范空间.
若对任意满足 $\Vert x_n \Vert_2\to 0$ 的点列 $\lbrace x_n\rbrace $ 都有 $\Vert x_n \Vert_1\to 0$. 则称 $\Vert \cdot \Vert_2$ 比 $\Vert \cdot \Vert_1$ 强.
若互相比对方强, 则称二者等价.
💡定理 2.1.15
$\Vert \cdot \Vert_2$ 比 $\Vert \cdot \Vert_1$ 强等价于 $\exists C>0$ 使 $\Vert x \Vert_1\leqslant C\Vert x \Vert_2$.
🧪例 2.1.16
$C[a,b]$ 上, 若
$1 \leq p_1 < p_2 \leq \infty$, 则
$\|\cdot\|_{p_2}$ 比
$\|\cdot\|_{p_1}$ 强.
📝证明
$$
\|f\|_{p_1} \leq (b-a)^{1/p_1} \|f\|_{\infty},
$$
$$
\int_a^b |f|^{p_1} dx \leq (b-a)\|f\|_{\infty}^{p_1}.
$$
- $p_2 < \infty$ 时, 取 $r = \tfrac{p_2}{p_1}, \ \tfrac{1}{r} + \tfrac{1}{r'} = 1$, 利用 Hölder 不等式可得
$$
\int_a^b \big(|f|^{p_1}\cdot 1\big)\, dx
\leq \left\lbrace \int_a^b \big(|f|^{p_1}\big)^r dx \right\rbrace ^{1/r}
\left\lbrace \int_a^b 1^{r'} dx \right\rbrace ^{1/r'}
\leq C \left\lbrace \int_a^b |f|^{p_2} dx \right\rbrace ^{p_1/p_2}.
$$
此即
$$
\|f\|_{p_1} \leq C^{1/p_1} \|f\|_{p_2}.
$$
❓练习 2.1.17
题目
$L^p$ 空间函数依范数收敛.
- 若 $\Vert f_n-f \Vert_p\to 0$, 则存在子列 $\lbrace f_k\rbrace $ 几乎处处收敛于 $f$.
- 若 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处收敛于 $f$, 且 $\Vert f_n \Vert_p\to\Vert f \Vert_p$, 则 $\Vert f_n-f \Vert_p\to 0$.
题目
$C_0^1[0,1]$ 表示 $[0,1]$ 上在 0 和 1 处取值为零的一阶连续可微函数全体.
$$
|f|_1 := \left( \int_0^1 |f|^2 + |f'|^2 dx \right)^{1/2},
\quad |f|_2 := \left( \int_0^1 |f'|^2 dx \right)^{1/2}.
证明:
$\exists C_1, C_2 > 0$ 使 $C_1 \|f\|_1 \leq \|f\|_2 \leq C_2 \|f\|_1 \quad (\forall f \in C_0^1[0,1])$.
@@ADMONITION_START@@type=note&open=false&title=%E8%AF%81%E6%98%8E@@
题目
若 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 是一单连通有界开集.
$C_0^1(\overline{\Omega})$ 表示 $\Omega$ 上在边界 $\partial \Omega$ 取值为零的一阶连续可微函数全体.
$$
|f|1 := \left( \int\Omega |f|^2 + |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2},
\quad |f|2 := \left( \int\Omega |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2}.
证明: $\exists C_1, C_2 > 0$ 使 $C_1 \|f\|_1 \leq \|f\|_2 \leq C_2 \|f\|_1 \quad (\forall f \in C_0^1(\overline{\Omega}))$.
📝证明
题目
若 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 是一单连通有界开集, 且有光滑边界.
$\widetilde{C}_0^1(\overline{\Omega})$ 表示 $\Omega$ 上在边界 $\partial \Omega$ 的一个非空开子集 $\Gamma$ 上取值为零的一阶连续可微函数全体.
$$
|f|1 := \left( \int\Omega |f|^2 + |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2},
\quad |f|2 := \left( \int\Omega |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2}.
$$ 证明: $\exists C_1, C_2 > 0$ 使 $C_1 \|f\|_1 \leq \|f\|_2 \leq C_2 \|f\|_1 \quad (\forall f \in \widetilde{C}_0^1(\overline{\Omega}))$.
📝证明
@@ADMONITION_END@@