Hahn-Banach 定理
则称 $P(\cdot)$ 是 $\mathscr X$ 上的一个次线性泛函.
定义 4.2.1 次线性泛函
注 4.2.2 半范数
则称为偏序关系.
定义 4.2.3 偏序
完全性: 若对任意两个元素 $x,y\in A$ 要么 $x\prec y$ 要么 $y\prec x$ 则称 $\prec$ 为全序关系.定义 4.2.4 全序
如果它的每个全序子集有一个上界, 那么 $\mathscr X$ 有一个极大元.
定理 4.2.5 Zorn 引理
定理 4.2.6 实 Hahn-Banach 定理
$\forall x_1\in \mathscr X\setminus \mathscr X_0$, 令 $\mathscr X_1:=\lbrace x_0+\alpha x_1:x_0\in\mathscr X_0\rbrace $. 若 $f_0$ 能延拓到 $\mathscr X_1$ 成为 $f_1$, 则 要 $f_1$ 在 $\mathscr X_1$ 上受 $p$ 控制, 只需 $\forall x_0\in \mathscr X_0$ 下列条件成立: 结合 (2), (3) 能够延拓只要满足 $f_0(z)-p(z-x_1)\leqslant f_1(x_1)\leqslant p(y+x_1)-f_0(y)\ (\forall y,z\in \mathscr X_0)$. 即只要 $\sup\limits_{z\in\mathscr X_0} f_0(z)-p(z-x_1)\leqslant\inf\limits_{y\in\mathscr X_0}p(y+x_1)-f_0(y)$. 就可以构造这样的 $f_1(x_1)$. 从而做到延拓一维. 第二步(延拓到$\mathscr X$ 上). 定义 $$
\mathscr F:=\left{(\mathscr X_\lambda, f_\lambda):
\begin{array}{l}
f_\lambda \in \mathscr X_\lambda^*;\
\mathscr X_0\subset \mathscr X_\lambda \subset \mathscr X;\
f_\lambda(x)=f_0(x)\quad (\forall x\in\mathscr X_0);\
f_\lambda(x)\leqslant p(x)\quad (\forall x\in\mathscr X_\lambda).
\end{array}
\right}
在 $\mathscr F$ 上引入二元关系: $(\mathscr X_{\lambda_1},f_{\lambda_1})\prec (\mathscr X_{\lambda_1},f_{\lambda_2})\Leftrightarrow $$ \begin{cases}
\mathscr X_{\lambda_1}\subset\mathscr X_{\lambda_2},\
f_{\lambda_1}(x)=f_{\lambda_2}(x)\ (\forall x\in\mathscr X_1).
\end{cases} $$ $
由于关系中要求的 $\mathscr X_{\lambda_1}\subset\mathscr X_{\lambda_2}$ 是偏序关系, 所以 $\prec$ 至多是偏序关系. 进一步验证显然可得 $\prec$ 是偏序关系. 而对于其每个全序子集, 一定有 $\mathscr X_{\lambda_1}\subset\mathscr X_{\lambda_2}\subset\cdots$ 但整体集合有上界 $\mathscr X$, 从而一定有上界. 进而由 Zorn 引理知 $(\mathscr F,\prec)$ 存在极大元, 记为 $(\mathscr X_{\Lambda},f_\Lambda)$. 下证 $\mathscr X_\Lambda=\mathscr X$. 反证法, 如果不相等那么根据第一步可以再延拓一维从而与极大性矛盾. 所以说这个极大元就是满足条件的, 定义在整个 $\mathscr X$ 上的线性泛函.
证明
定义 4.2.7 复 Hahn-Banach 定理
那么根据实 Hahn-Banach 定理存在 $\mathscr X$ 上的实线性泛函 $g$. 是由 $g_0$ 延拓并受 $p$ 控制. 定义 $f(x)=g(x)-\text{i} g(\text{i} x)$. 则 $\forall x\in\mathscr X_0$, $$ \begin{aligned}
f(x)&=g_0(x)-\text{i} g_0(\text{i} x)=\text{Re} f_0(x)-\text{i} \text{Re}f_0(\text{i} x)\
&=\text{Re} f_0(x)-\text{i} \text{Re}[\text{i} f_0(x)]=\text{Re}f_0(x)+\text{i}\text{Im}f_0(x)=f_0(x).
\end{aligned} $$ $$ 又 $\forall x\in\mathscr X$ 有 $f(\text{i} x)=g(\text{i} x)-\text{i} g(-x)=\text{i} [g(x)-\text{i} g(\text{i} x)]=\text{i} f(x)$. 因此 $f$ 是复线性的. 下面验证 $f$ 受 $p$ 控制. $f(x)=0$ 时显然受 $p$ 控制. 对于 $f(x)\neq 0$ 的情形: 设 $\theta:=\theta(x)=\arg f(x)$ 便有证明
此时, 称 $f$ 为 $f_0$ 的保范延拓.
定理 4.2.8 Hahn-Banach 定理; 保范延拓
根据复(实) Hahn-Banach 定理存在 $f\in\mathscr X^*$ 满足: $f(x)=f_0(x)\ (\forall x\in\mathscr X_0)$; $|f(x)|\leqslant p(x)\ (\forall x\in\mathscr X_0)$. 由延拓条件 $\Vert f \Vert\geqslant\Vert f_0 \Vert_{\mathscr X_0^*}$. 因为泛函的范数是上确界, 延拓后的范围包括子空间. 由受 $p$ 控制 $\Vert f \Vert_{\mathscr X^*}\leqslant\Vert f_0 \Vert_{\mathscr X_0^*}$. 因为移项可得 $\dfrac{|f(x)|}{\Vert x \Vert}\leqslant \Vert f_0 \Vert_{\mathscr X_0^*}$.
证明
注 4.2.9 $\mathscr X$ 可分时, Hahn-Banach 定理的证明可以不用 Zorn 引理
推论 4.2.10 Hahn-Banach 定理推论; 直接称作 Hahn-Banach 定理
证明