Arzela-Ascoli 定理
📝定义 1.7.1
设 $(M,\rho)$ 为度量空间, 若 $M$ 是紧集, 则称该度量空间为紧的.
📝定义 1.7.2
设
$(M,\rho)$ 是紧的度量空间, 定义
$C(M)$ 为
$M\to\mathbb{R}$ 的连续映射全体, 即
$f$ 在
$M$ 上连续:
$$
\forall x_0\in M,\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\text{ 只要 } \rho(x,x_0)<\delta\text{ 就有 } |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon
$$
定义 $d: C(M)\times C(M)\to\mathbb{R}$ 为
$$
d(f,g):=\max\limits_{x\in M}|f(x)-g(x)|,\quad \forall f,g\in C(M).
$$
$(C(M),d)$ 是一个完备的度量空间.
🧪例 1.7.3
$(C(M),d), d(f,g):=\max\limits_{0\leqslant t\leqslant 1}|f(t)-g(t)|$. 是完备的.
📝定义 1.7.4 一致有界, 等度连续
设
$F\subset C(M)$.
若 $\exists M_1>0$ 使 $|\varphi(x)|\leqslant M_1(\forall x\in M,\forall \varphi\in F)$, 则称 $F$ 一致有界.
若 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0$ 使得只要 $\rho(x_1,x_2)<\delta$ 就有 $|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon(\forall \varphi\in F)$, 则称 $F$ 等度连续.
ℹ️注 1.7.5
1. 一致有界是对任意函数的一致.
- 等度连续>一致连续>连续.
💡定理 1.7.6 Arzela-Ascoli
设 $F\subset C(M)$, 则 $F$ 是列紧集 $\Leftrightarrow$ $F$ 一致有界且等度连续.
📝证明
"$\Leftarrow$": $|\varphi(x)-\varphi_j(x)|\leqslant\underbrace{|\varphi(x)-\varphi(x_\kappa)|}_{\text{等度连续}}+\underbrace{|\varphi(x_\kappa)-\varphi_j(x_\kappa)|}_{\text{一致有界}}+\underbrace{|\varphi_j(x_\kappa)-\varphi_j(x)|}_{\text{等度连续}}\leqslant 3\varepsilon$
ℹ️注 1.7.7
该定理只能用于连续函数空间证明列紧.
❓练习 1.7.8
题目
设 $(M,\rho)$ 是紧度量空间. $f\in C(M)$. 证明 $f$ 在 $M$ 上一致连续.
题目
证明 $(C(M),d)$ 是一个完备的度量空间.
题目
$(l^p,\rho_p)$ ($1\leqslant p<\infty$).
$$
l^p:=\left{{x_n}{n=1}^{\infty}:\sum|x_n|^p<\infty\right}.
$$
$$
\rho_p({x_n},{y_n}):=\left(\sum_{n=1}^{\infty}|x_n-y_n|^p\right)^{1/p}.
$$}^{\infty
题目
令 $W_0^{1,2}[0,1]$ 是
$$
C_0^1[0,1]:=\lbrace f\in C^1[0,1]:f(0)=f(1)=1\rbrace
$$
在
$$
\rho(f,g):=\left(\int_0^1 |f(x)-g(x)|^2+|f'(x)-g'(x)|^2\text{d} x\right)^{1/2}
$$
度量下的完备化空间.
证明:
- ((1)) $A:=\lbrace f\in W_0^{1,2}[0,1]:\rho(f,\mathbf{0})\leqslant 1\rbrace$ 是 $C[0,1]$ 中的列紧集.
- ((2)) $A$ 是 $L^2[0,1]$ 中的列紧集 (Rellich 紧嵌入定理).