📝定义 1.3.1 稠密子集度量空间
设
$(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间, 集合
$E\subset\mathscr X$.
若对任意的 $x\in\mathscr X$ 和 $\varepsilon>0$, 存在 $z\in E$, 使得 $\rho(z,x)<\varepsilon$. 则称 $E$ 是 $\mathscr X$ 中的稠密子集.
🧪例 1.3.2
$\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密.
📝定义 1.3.3 疏集
设 $(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间, 集合 $E\subset\mathscr X$, 若 $\overline{E}$ 无内点, 则称 $E$ 是 $\mathscr{X}$ 中的疏集.
💡定理 1.3.4 疏集的等价定义
设 $(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间, 集合 $E\subset\mathscr X$. 则 $E$ 是疏集当且仅当对任意的球 $B(x_0,r_0)$ 总存在开球 $B(x,r)\subset B(x_0,r_0)$ 使得 $\overline{E}\cap\overline{B(x,r)}=\varnothing$
📝证明
"
$\Leftarrow$": 反证法.
"$\Rightarrow$": 考虑 $B(x_0,r_0)\backslash \overline{E}$. 首先
📝定义 1.3.5 第一纲集与第二纲集
在距离空间 $(\mathscr X,\rho)$ 上, 如果 $E=\bigcup\limits_{n\geqslant 1}E_n$, 其中 $E_n$ 是疏集, 则称 $E$ 是第一纲集. 不是第一纲集的集合称为第二纲集.
🧪例 1.3.6
$\mathbb{R}$ 中 $\mathbb{Q}$ 是第一纲集.
💡定理 1.3.7 不考
在 $C[0,1]$ 中处处不可微的函数集合 $E$ 非空, 且 $E$ 的余集是第一纲集.
💡定理 1.3.8 Baire
完备的度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 是第二纲集.
📝证明
反证法. 假设是第一纲集, 则存在可数个疏集 $E_n$.