📝定义 1.6.1 紧集
在拓扑空间 $\mathscr{X}$ 中, 若 $M$ 的每个开覆盖都有有限子覆盖则称 $M$ 为紧集.
📝定义 1.6.2 紧集
在度量空间 $(\mathscr{X},\rho)$ 中, 若 $M$ 的每个开覆盖都有有限子覆盖则称 $M$ 为紧集.
🧾性质 1.6.3
设 $A$ 是度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 中的紧集, 则 $A$ 是闭集.
📝证明
只需证明
$A$ 的余集
$A^c$ 为开集即可.
即证明 $\forall x \in A^c$, 存在包含 $x$ 的开集包含于 $A^c$.
$\lbrace B(y, \tfrac{1}{3}\rho(y, x)) : y \in A \rbrace $ 构成 $A$ 的开覆盖.
$A$ 是紧集, 所以 $\exists y_1, y_2, \dots, y_N \in A$ 使
$$
\bigcup_{k=1}^N B\bigl(y_k, \tfrac{1}{3}\rho(y_k, x)\bigr) \supset A.
$$
$$
B\bigl(x, \tfrac{1}{3}\rho(x, y_k)\bigr) \subset B^c\bigl(y_k, \tfrac{1}{3}\rho(y_k, x)\bigr).
$$
于是
$$
x \in \bigcap_{k=1}^N B\bigl(x, \tfrac{1}{3}\rho(x, y_k)\bigr)
\subset \bigcap_{k=1}^N B^c\bigl(y_k, \tfrac{1}{3}\rho(y_k, x)\bigr)
\subset A^c.
$$
🧾性质 1.6.4
设 $A$ 是度量空间 $(\mathscr{X},\rho)$ 中的紧集, $M\subset A$, 且 $M$ 是闭集, 则 $M$ 是紧集.
📝证明
设
$\lbrace V_{\alpha}\rbrace _{\alpha \in \Lambda}$ 是
$M$ 的一族开覆盖.
则 $\lbrace V_{\alpha}\rbrace _{\alpha \in \Lambda} \cup \lbrace M^c\rbrace $ 构成 $A$ 的一族开覆盖.
$A$ 是紧集, 故 $\exists \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$ 使
$$
\bigcup_{k=1}^N V_{\alpha_k} \cup M^c \supset A.
$$
而 $M \subset A$, 于是
$$
\bigcup_{k=1}^N V_{\alpha_k} \supset M.
$$
🧾性质 1.6.5
设 $A$ 是度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 中的紧集. 设 $\lbrace F_\alpha\rbrace _{\alpha\in\Lambda}$ 是 $A$ 中的一族闭子集, 其中任意有限个闭集之交非空, 则 $\bigcap\limits_{\alpha\in\Lambda}F_\alpha\neq\varnothing$.
📝证明
(反证法) 假设
$\bigcap_{\alpha \in \Lambda} F_{\alpha} = \varnothing$.
任取 $\alpha_1 \in \Lambda$, 寻找 $F_{\alpha_1}$ 的开覆盖.
由于 $\bigcap_{\alpha \in \Lambda} F_{\alpha} = \varnothing$, 所以
$$
F_{\alpha_1} \cap \biggl( \bigcap_{\alpha \in \Lambda \setminus \lbrace \alpha_1\rbrace } F_{\alpha} \biggr) = \varnothing.
$$
于是
$$
F_{\alpha_1} \subset
\biggl( \bigcap_{\alpha \in \Lambda \setminus \lbrace \alpha_1\rbrace } F_{\alpha} \biggr)^c
= \bigcup_{\alpha \in \Lambda \setminus \lbrace \alpha_1\rbrace } F_{\alpha}^c
\quad \text{(De Morgan 法则)}.
$$
$F_{\alpha_1}$ 是紧集,
故 $\exists \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_N \in \Lambda$ 使
$$
F_{\alpha_1} \subset \bigcup_{k=2}^N F_{\alpha_k}^c.
$$
于是
$$
\bigcap_{k=2}^N F_{\alpha_k} \subset F_{\alpha_1}^c,
\quad \text{(De Morgan 法则)}.
$$
此即
$$
\bigcap_{k=1}^N F_{\alpha_k} = \varnothing,
$$
矛盾.
💡引理 1.6.6 用闭集刻画紧集
设 $A$ 是度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 中的闭集, 如果 $A$ 中的任一族闭子集 $\lbrace F_\alpha\rbrace _{\alpha\in\Lambda}$ 只要满足任意有限个闭集之交非空就有 $\bigcap\limits_{\alpha\in\Lambda} F_\alpha\neq \varnothing$, 那么 $A$ 是紧集.
📝证明
设
$\lbrace V_{\alpha}\rbrace _{\alpha \in \Lambda}$ 是
$A$ 的一个开覆盖, 即
$$
\bigcup_{\alpha \in \Lambda} V_{\alpha} \supset A.
$$
所以
$$
\bigcap_{\alpha \in \Lambda} V_{\alpha}^c \subset A^c
\quad \text{(De Morgan 法则: }
\bigl(\bigcup_{\alpha \in \Lambda} V_{\alpha}\bigr)^c
= \bigcap_{\alpha \in \Lambda} V_{\alpha}^c \text{)}.
$$
$$
\biggl(\bigcap_{\alpha \in \Lambda} V_{\alpha}^c\biggr) \cap A = \varnothing,
\quad \text{即 } \bigcap_{\alpha \in \Lambda}(V_{\alpha}^c \cap A) = \varnothing.
$$
由引理条件知, $\exists \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$ 使
$
\bigcap\limits_{k=1}^N V_{\alpha_k}^c \cap A = \varnothing.
$
这说明
$
\bigcap\limits_{k=1}^N V_{\alpha_k}^c \subset A^c,
$
故而
$
A \subset \bigcup\limits_{k=1}^N V_{\alpha_k}.
$
ℹ️注 1.6.7
开集的有限并 $\Leftrightarrow$ 闭集的有限交.
🧾性质 1.6.8
设
$(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间,
$A\subset \mathscr X$ 是紧集.
$\lbrace x_n\rbrace $ 是 $A$ 中两两互异的点列, 则 $\lbrace x_n\rbrace $ 在 $A$ 中有聚点.
📝证明
(反证法) 假设 $\lbrace x_n\rbrace $ 在
$A$ 中没有聚点.
$\forall q \in A$, 存在 $q$ 的一个开邻域 $V_q$ 使 $V_q$ 至多包含 $\lbrace x_n\rbrace $ 中的有限个点.
$\lbrace V_q : q \in A\rbrace $ 构成 $A$ 的一族开覆盖.
$A$ 是紧集 $\Rightarrow \exists q_1, q_2, \dots, q_N \in A$ 使
$$
\bigcup_{k=1}^N V_{q_k} \supset A \supset \lbrace x_n\rbrace ,
$$
矛盾!
💡推论 1.6.9
若 $A$ 是紧集, 则 $A$ 必是自列紧集.
💡引理 1.6.10
设 $(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间, $A\subset \mathscr X$. 若 $A$ 是自列紧集, 则 $A$ 是紧集.
📝证明
(反证法) 假设
$\lbrace V_{\alpha}\rbrace _{\alpha \in \Lambda}$ 是
$A$ 的一个开覆盖, 但
$A$ 不能被其中的有限个元素覆盖.
$A$ 是列紧集 $\Rightarrow A$ 是完全有界集 $\Rightarrow$ 存在 $A$ 的有穷 $\tfrac{1}{n}$ 网 $\Rightarrow$
$$
\forall n \in \mathbb{Z}_+, \ \exists y_n \in A \text{ 使 } B\!\left(y_n, \tfrac{1}{n}\right)
\text{ 不能被 } \lbrace V_{\alpha}\rbrace \text{ 中有限个元素覆盖}.
$$
$A$ 是列紧集, 故 $\lbrace y_n\rbrace $ 有收敛子列 $\lbrace y_{n_k}\rbrace $, 记 $y_{n_k} \to y \ (k \to \infty)$, 则 $y \in A$.
因为 $\lbrace V_{\alpha}\rbrace $ 覆盖了 $A$, 故存在 $\alpha \in \Lambda$ 使 $y \in V_{\alpha}$.
由 $V_{\alpha}$ 是开集知, 存在 $\delta > 0$ 使 $B(y, \delta) \subset V_{\alpha}$.
任取 $z \in B(y_{n_k}, 1/n_k)$, 有
$$
\rho(z, y) \leq \rho(z, y_{n_k}) + \rho(y_{n_k}, y) < 1/n_k + \delta/2 < \delta
\quad (\text{取充分大的 } k \text{ 即可}).
$$
于是
$$
B(y_{n_k}, 1/n_k) \subset B(y, \delta) \subset V_{\alpha},
$$
矛盾!
💡定理 1.6.11
$A$ 是紧集 $\Leftrightarrow$ $A$ 是自列紧集.