📝定义 1.1.1
设
$\mathscr X$ 是一个非空集. 称
$\mathscr X$ 为
度量空间, 当且仅当在
$\mathscr X$ 上定义了一个双变量的实值函数
$\rho(x,y)\ \mathscr X \times \mathscr X\to \mathbb{R}$, 满足下列三个条件:
- ((1)) 正定性: $\rho(x,y)\geqslant 0$, 且 $\rho(x,y)=0$, 当且仅当 $x=y$;
- ((2)) 对称性: $\rho(x,y)=\rho(y,x)$;
- ((3)) 三角不等式: $\rho(x,z)\leqslant\rho(x,y)+\rho(y,z)\ (\forall x,y,z\in\mathscr X)$.
并称 $\rho$ 为 $\mathscr X$ 上的一个距离 (度量), 记以 $\rho$ 为度量的度量空间为 $(\mathscr X,\rho)$.
ℹ️注 1.1.2
$|\rho(x,z)-\rho(x,y)|\leqslant\rho(y,z)$ 亦称为三角不等式.
🧾性质 1.1.3
所有度量在该度量下是连续的, 这个在欧式距离中很好理解, 但在任意度量中可能不是很好理解.
📝定义 1.1.4
$(\mathscr X,\rho)$ 是一个度量空间. 若 $M\subset\mathscr X$, 则称 $(M,\rho)$ 为 $(\mathscr X,\rho)$ 的子空间.
🧪例 1.1.5
$(\mathbb{R}^n,\rho_p),\ \rho_p(\vec x,\vec y) :=\left(\sum\limits_{i=1}^n|x_i-y_i|^p\right)^{1/p},\ (1\leqslant p<\infty)$.
$(\mathbb{R}^n,\rho_\infty),\ \rho_\infty(\vec x,\vec y):=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}|x_i-y_i|$
ℹ️注 1.1.6
上述定义中若 $0<p<1$ 则不符合度量定义.
🧪例 1.1.7
$(C[a,b],\rho): \rho(f,g)=\max\limits_{t\in[a,b]}|f(t)-g(t)|$.
$(C[a,b],\rho_p)\ p\geqslant 1: \rho_p(f,g)=\left(\displaystyle\int_{a}^{b|f(t)-g(t)|^p\text{d}} t\right)^{1/p}$.
$(C[a,b],\rho_\infty): \rho_\infty(f,g)=\inf\limits_{E\subset [a,b],m(E)=0}\sup\limits_{t\in[a,b]\backslash E}|x(t)-y(t)|$.
🧪例 1.1.8
$S[a,b]$ 表示 $[a,b]$ 上几乎处处取有限值的可测函数全体, $(S[a,b],\rho),\rho(f,g):=\displaystyle\int_{a}^{b} \dfrac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}\text{d} x$
🧪例 1.1.9
$(L_p(\Omega),\rho_p)$,
$\rho_p(f,g)=\left(\int_{\Omega}|f(x)-g(x)|^p\text{d} x\right)^{1/p},\ 1\leqslant p<\infty$.
当定义域离散时 (无穷数列 $\lbrace x_n\rbrace $) 记作 $l_p$. 即将积分用求和代替.
📝定义 1.1.10 收敛列 (依度量收敛)
度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 上的点列 $\lbrace x_n \rbrace$ 收敛, 是指 $\rho(x_n,x_0)\to 0 (n\to\infty)$, 记作 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$.
💡定理 1.1.11
设 $\lbrace x_n\rbrace $ 是度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 中的点列. 如果 $\lbrace x_n\rbrace $ 在 $(\mathscr X,\rho)$ 中收敛, 则其极限必唯一.
📝证明
设
$x, y$ 是 $\lbrace x_n\rbrace $ 的极限, 则由度量函数
$\rho$ 的性质可得
$$
0 \leq \rho(x,y) \leq \rho(x,x_n) + \rho(x_n,y) \to 0.
$$
因此, $\rho(x,y) = 0$, 从而 $x = y$.
💡定理 1.1.12
设 $\lbrace x_n\rbrace , \lbrace y_n\rbrace $ 在 $(\mathscr X,\rho)$ 中分别收敛于 $x_0, y_0$, 则 $\rho(x_n, y_n) \to \rho(x_0, y_0)$.
📝证明
$$
\begin{aligned}
|\rho(x_n, y_n) - \rho(x_0, y_0)| &\leqslant |\rho(x_n, y_n) - \rho(x_0, y_n)| + |\rho(x_0, y_n) - \rho(x_0, y_0)| \\
&\leqslant \rho(x_n, x_0) + \rho(y_n, y_0) \to 0.
\end{aligned}
$$
这个定理表明度量函数 $\rho(x,y)$ 是度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 上的二元连续函数.
📝定义 1.1.13 等价度量
设
$(\mathscr X,\rho_1)$ 和
$(\mathscr X,\rho_2)$ 是两个度量空间. 任取点列
$\lbrace x_n\rbrace _{n=1}^\infty\subset X$ 和
$x\in X$, 若
$$
\rho_1(x_n,x)\to 0\Leftrightarrow \rho_2(x_n,x)\to 0
$$
则称 $\rho_1$ 与 $\rho_2$ 等价.
极限存在, 但收敛中取的 $N/\delta$ 不同.
📝定义 1.1.14
开球, 闭球, 内点, 内部, 开集, 闭集, 聚点, 导集, 闭包. 定义同数分, 将欧几里得距离换成度量.
💡定理 1.1.15
设
$(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间. 则
$\mathscr X$ 中的开集的全体满足如下性质:
- 空集和全空间是开集.
- 任意一族开集的并是开集.
- 有限多个开集的交是开集.
🧪例 1.1.16 反常例子: 球的闭包不一定是闭球
$(\mathbb{R},\rho)$ 是度量空间, 其中
$$
\rho(x,y)=\begin{cases}
0,\ x=y,\\
1,\ x\neq y.
\end{cases}
$$
其中以 0 为心的单位开球为 $B(0,1)=\lbrace x\in\mathbb{R}:|x|<1\rbrace =\lbrace 0\rbrace $.
以 0 为心的闭球为 $\overline{B}(0,1)=\lbrace x\in\mathbb{R}:|x|\leqslant 1\rbrace =\mathbb{R}$
所以 $\overline{B(0,1)}=\lbrace 0\rbrace \neq\mathbb{R}$.
ℹ️注 1.1.17
上述例子中 $B(0,1)$ 既是开集也是闭集. 更进一步的在上述度量定义中, 任意子集 $A\subset\mathbb{R}$ 均是既开又闭的集合.
💡定理 1.1.18 闭集的等价定义
设
$(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间,
$A\subset \mathscr X$.
- 若 A 是闭集, 则 A 中任意收敛点列 $\lbrace x_n\rbrace $, 收敛在 A 中.
- 若 A 中任意点列 $\lbrace x_n\rbrace $ 在 $\mathscr{X}$ 中收敛, 若一定有收敛在 A 中, 则 A 是闭集.
📝证明
📝定义 1.1.19 柯西列
设
$\lbrace x_n\rbrace _{n=1}^\infty$ 是度量空间
$(\mathscr X,\rho)$ 中的点列. 若
$$
\rho(x_n,x_m)\to 0 (n,m\to\infty)
$$
则称 $\lbrace x_n\rbrace $ 是 Cauchy 列.
🧾性质 1.1.20
- 收敛列是 Cauchy 列.
- 若 Cauchy 列有收敛的子列, 那么是收敛列.
- 若只是 Cauchy 列, 则是有界序列. 但不一定收敛.
🧪例 1.1.21
$\rho(x,y)=|x-y|$, 则 $(\mathbb{Q},\rho)$ 中 $\left(1+\frac 1 n\right)^n\to e\notin\mathbb{Q}$
📝定义 1.1.22 完备性
若度量空间中的所有 Cauchy 列都是收敛的, 那么称这个度量空间是完备的.
📝定义 1.1.23
集合的直径 $\text{diam}(A)=\sup\limits_{x,y\in A}\rho(x,y)$.
💡定理 1.1.24 闭集套
度量空间完备当且仅当对任意单调下降的非空闭子集列 $\lbrace A_n\rbrace $ ($A_1\supset A_2\supset\cdots\supset A_n \cdots$) 只要 $\lim\limits_{n\to\infty} \text{diam}(A_n)=0$ 就有 $\bigcap\limits_{n\geqslant 1}A_n$ 是单点集.
❓练习 1.1.25
题目
验证 $(\mathbb{R}^n,\rho_p), (1\leqslant p\leqslant \infty)$ 为度量空间, 并证明 $\lim\limits_{p\to\infty}\rho_p=\rho_\infty$.
题目
证明 $(C[a,b],\rho_*)$ 完备, 其中 $\rho_*(f,g):=\max\limits_{a\leqslant t\leqslant b}|f(t)-g(t)|$.
题目
证明 $(C[a,b],\rho_1)$ 不完备, 其中 $\rho_1(f,g):=\int_a^b |f(t)-g(t)|\text{d} t$
题目
证明 $(L^p(\Omega),\rho_p)$ 是完备的.
题目
证明 $\text{diam} (A)=\text{diam}(\overline{A})$.