📝定义 1.2.1 压缩映射
设
$T:(\mathscr X,\rho)\to(\mathscr X,\rho)$ 是一个映射.
若存在 $0<\alpha<1$ 是的 $\rho(T(x),T(y))\leqslant\alpha\rho(x,y)\ \forall x,y\in \mathscr X$ 则称 $T$ 是压缩映射.
📝定义 1.2.2 连续映射
设 $T:(\mathscr X,\rho)\to(\mathscr Y,r)$ 是一个映射, 若对于 $\mathscr X$ 中的任意收敛列 $\lbrace x_n\rbrace $ (收敛至 $x$), 都有 $\lbrace T(x_n)\rbrace $ 收敛至 $T(x)$ ($r(T(x_n),T(x))\to 0$), 则称 $T$ 是连续的.
💡定理 1.2.3
压缩映射一定是连续映射.
💡定理 1.2.4 压缩映射定理(Banach 不动点定理)
设 $(\mathscr X,\rho)$ 是一个完备的度量空间, 若存在一个该度量空间上的压缩映射 $T$, 则存在唯一的 $x\in\mathscr X$, 使得 $Tx=x$.
💡定理 1.2.5
若映射 $T$ 本身不一定是压缩映射, 但存在 $n$ 使得 $T^n$ 是压缩映射, 则存在唯一的 $x$, $x=Tx$.
❓练习 1.2.6
题目
设 $f\in L^2[a,b], K(\cdot,\cdot)\in L^2([a,b]\times [a,b])$, 证明:
$$
x(t)=f(t)+\lambda\int_a^b K(t,s)x(s)\text{d} s
$$
在 $|\lambda|$ 充分小时有唯一解.
题目
证明定理 \ref{压缩::Tn压缩}
题目
(Volterra 积分方程) 设 $K(\cdot,\cdot)\in C([a,b]\times[a,b])$, 证明: 对于任意的 $f\in C[a,b]$ 下列积分方程
$$
x(t)=f(t)+\int_a^t K(t,s)x(s)\text{d} s
$$
总有唯一解 $x\in C[a,b]$.
题目
设 $(\mathscr X,\rho)$ 是完备的度量空间且 $\mathscr X\neq\varnothing$. $T:(\mathscr X,\rho)\to(\mathscr X,\rho)$ 是压缩映射, 即存在 $\alpha\in(0,1)$ 使
$$
\rho(Tx,Ty)\leqslant\alpha \rho(x,y)\quad(\forall x,y\in\mathscr X)
$$
对任意的 $R\geqslant 0$, 定义 $A_R:=\lbrace x\in\mathscr X:\rho(x,Tx)\leqslant R\rbrace$. 证明:
- ((1)) $\text{diam} A_R\leqslant\frac{2R}{1-\alpha}$.
- ((2)) 对任意的 $R\geqslant 0$, $A_R$ 是 $\mathscr X$ 中的非空闭子集.
- ((3)) 利用闭集套定理证明压缩映射定理.