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1.5 列紧集

定义 1.5.1 列紧
设 $(\mathscr X,\rho)$ 是一个度量空间, $A\subset \mathscr X$.

若 $A$ 中的任何点列在 $\mathscr X$ 中均有收敛子列, 则称 $A$ 是列紧的.

若这个子空间还收敛到 $A$ 中, 则称 $A$ 是自列紧的.

若空间 $\mathscr X$ 是列紧的, 则称 $\mathscr X$ 是列紧空间.

性质 1.5.2

  • 有限点集是列紧集.
  • 列紧集的任何(闭)子集都是(自)列紧的.
  • 列紧空间必是完备空间.

例 1.5.3
$\mathbb{R}^n$ 中的有界(闭)集是(自)列紧集

定义 1.5.4 $\varepsilon$ 网
设 $M$ 是 $(\mathscr X,\rho)$ 中的一个子集, $\varepsilon>0$, $N\subset M$.

若 $\forall x\in M,\exists y\in N$ 使 $\rho(x,y)<\varepsilon$, 则称 $N$ 是 $M$ 的一个 $\varepsilon$ 网.

注 1.5.5

  • (1.) $M\subset\bigcup\limits_{y\in N}B(y,\varepsilon)$.
  • (2.) 若 $N$ 是有穷集合 (个数依赖于 $\varepsilon$), 则称 $N$ 是 $M$ 的一个有穷 $\varepsilon$ 网.

定义 1.5.6 完全有界集
如果 $\forall \varepsilon>0$ 都存在 $M$ 的有穷 $\varepsilon$ 网, 则称 $M$ 是完全有界的.

注 1.5.7
此处可理解为在度量 $\rho$ 下的有限覆盖, 即存在有限开球覆盖的集合是完全有界集.

定理 1.5.8 列紧集一定是完全有界集
设 $(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间. $M\subset \mathscr X$. 若 $M$ 是列紧的, 则 $M$ 是完全有界集.

证明
反证法. 若 $\exists \, \varepsilon > 0$ 使 $M$ 中没有有穷的 $\varepsilon$ 网.

任取 $x_1 \in M$, 则 $\exists x_2 \in M \setminus B(x_1, \varepsilon)$.

对 $\lbrace x_1, x_2\rbrace \subset M$, $\exists x_3 \in M \setminus \bigl( B(x_1, \varepsilon) \cup B(x_2, \varepsilon) \bigr)$.

$\dots$

对 $\lbrace x_1, x_2, \dots, x_n\rbrace \subset M$, $\exists x_{n+1} \in M \setminus \bigcup\limits_{k=1}^n B(x_k, \varepsilon)$.

$\dots$

于是 $\rho(x_n, x_m) \geqslant \varepsilon \quad (n \neq m)$, 故没有收敛子列, 这与 $M$ 列紧矛盾.

定理 1.5.9 完备空间中的完全有界集一定是列紧集
设 $(\mathscr X,\rho)$ 是完备度量空间. $M\subset\mathscr X$. 若 $M$ 是完全有界集, 则 $M$ 是列紧的.

证明
设 $\lbrace x_n\rbrace $ 是 $M$ 中的任一点列, 下面找出其收敛子列.

注意 $\forall \, \varepsilon > 0$ 都存在 $M$ 的有限 $\varepsilon$-网.

对 $1$ 网, $\exists y_1 \in M$ 和 $\lbrace x_n\rbrace $ 的子列 $\lbrace x_n^{(1)}\rbrace \subset B(y_1, 1)$.

对 $1/2$ 网, $\exists y_2 \in M$ 和 $\lbrace x_n^{(1)}\rbrace $ 的子列 $\lbrace x_n^{(2)}\rbrace \subset B(y_2, 1/2)$.

$\dots$

对 $1/k$ 网, $\exists y_k \in M$ 和 $\lbrace x_n^{(k-1)}\rbrace $ 的子列 $\lbrace x_n^{(k)}\rbrace \subset B(y_k, 1/k)$.

$\dots$

取子列 $\lbrace x_1^{(k)}\rbrace _{k=1}^\infty$ 构成 Cauchy 列.

因 $\mathscr X$ 完备, 故 $\lbrace x_1^{(k)}\rbrace _{k=1}^\infty$ 收敛.

定理 1.5.10
若度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 中的完全有界集都是列紧集, 则 $(\mathscr X,\rho)$ 是完备的.

证明
任取 $(\mathscr X, \rho)$ 中的 Cauchy 列 $\lbrace x_n\rbrace $.

$\forall \, \varepsilon > 0, \ \exists N > 0$ 只要 $m > N+1$ 就有 $\rho(x_n, x_m) < \varepsilon$.

$\lbrace x_1, x_2, \dots, x_N\rbrace $ 是 $\lbrace x_n\rbrace $ 的有限 $\varepsilon$ 网, 故 $\lbrace x_n\rbrace $ 为完全有界集.

由定理条件知 $\lbrace x_n\rbrace $ 是列紧集, 故 $\lbrace x_n\rbrace $ 是 $(\mathscr X, \rho)$ 中的收敛列.

Cauchy 列若有收敛子列则是收敛列.

定理 1.5.11 完全有界集的刻画
设 $(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间, $M\subset \mathscr X$.

$M$ 是完全有界集 $\Leftrightarrow$ $M$ 中任何的一个点列必有 Cauchy 子列.

证明
"$\Rightarrow$": 设 $\lbrace x_n\rbrace $ 是 $M$ 中的任一列, 下面找出其 Cauchy 子列. 因为 $M$ 是完全有界集, 所以 $\forall \, \varepsilon > 0$ 都存在 $M$ 的有限 $\varepsilon$-网.

对 $1$ 网, $\exists y_1 \in M$ 和 $\lbrace x_n\rbrace $ 的子列 $\lbrace x_n^{(1)}\rbrace \subset B(y_1, 1)$.

对 $1/2$ 网, $\exists y_2 \in M$ 和 $\lbrace x_n^{(1)}\rbrace $ 的子列 $\lbrace x_n^{(2)}\rbrace \subset B(y_2, 1/2)$.

对 $1/n$ 网, $\exists y_k \in M$ 和 $\lbrace x_n^{(k-1)}\rbrace $ 的子列 $\lbrace x_n^{(k)}\rbrace \subset B(y_k, 1/n)$.

取对角线子列 $\lbrace x_k^{(k)}\rbrace $ 构成 Cauchy 列.

"$\Leftarrow$": 反证法. 若 $\exists \, \varepsilon > 0$ 使 $M$ 中没有有限的 $\varepsilon$-网.

任取 $x_1 \in M$, $\exists x_2 \in M \setminus B(x_1, \varepsilon)$.

对 $\lbrace x_1, x_2\rbrace \subset M$, $\exists x_3 \in M \setminus \bigl( B(x_1, \varepsilon) \cup B(x_2, \varepsilon) \bigr)$.

对 $\lbrace x_1, x_2, \dots, x_n\rbrace \subset M$, $\exists x_{n+1} \in M \setminus \bigcup_{k=1}^n B(x_k, \varepsilon)$.

于是 $\rho(x_n, x_m) \geqslant \varepsilon \quad (n \neq m)$, 故没有 Cauchy 子列, 这与条件矛盾.

定义 1.5.12 可分
若度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 有可数的稠密子集, 就称这个度量空间是可分的.

注 1.5.13
可分空间中的问题可在其可数稠密子集上考虑.

定理 1.5.14
若度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 完全有界, 则 $(\mathscr X,\rho)$ 是可分的.

证明
令 $N_n$ 是 $\mathscr X$ 的 有穷 $\frac 1 n$ 网.

则 $\bigcup\limits_{n=1}^\infty N_n$ 是 $\mathscr X$ 的可数稠密子集.

练习 1.5.15

题目

$1\leqslant p<\infty$ 时 $L^p[a,b]$ 可分. $L^{\infty}[a,b]$ 不可分.

题目

$1\leqslant p<\infty$ 时 $l^p[a,b]$ 可分. $l^{\infty}[a,b]$ 不可分.