内积空间及一些不等式
📝定义 3.1.1 内积空间
设
$\mathscr{X}$ 是
$\mathbb{K}$ 上的线性空间, 且
$(\cdot, \cdot) : \mathscr{X} \times \mathscr{X} \to \mathbb{K}$ 是一个双变量函数, 满足:
- ((1)) (共轭对称性) $(x, y) = \overline{(y, x)}$ ($\forall x, y \in \mathscr{X}$);
- ((2)) (正定性) $(x, x) \ge 0$ ($\forall x \in \mathscr{X}$) 且 $(x, x) = 0 \iff x = 0$;
- ((3)) (线性性) $(\alpha x_1 + \beta x_2, y) = \alpha (x_1, y) + \beta (x_2, y)$ ($\forall \alpha, \beta \in \mathbb{K}, \forall x_1, x_2, y \in \mathscr{X}$),
则称 $(\cdot, \cdot)$ 是 $\mathscr{X}$ 上的一个内积, 称 $\mathscr{X}$ 为一个内积空间.
ℹ️注 3.1.2
- 若 (2) 被替换为非负定条件: $(x, x) \ge 0$ ($\forall x \in \mathscr{X}$), 则称 $(\cdot, \cdot)$ 为一个半内积.
- 当 $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, 称 $\mathscr{X}$ 为实内积空间; 当 $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, 称 $\mathscr{X}$ 为复内积空间.
- 当 $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ 时, $(x, y) = (y, x)$.
- 内积对第二个变元是共轭线性的: $(x, \alpha y_1 + \beta y_2) = \overline{\alpha} (x, y_1) + \overline{\beta} (x, y_2)$.
- 当 $x = 0$ 或 $y = 0$ 时, $(x, y) = 0$.
🧪例 3.1.3
$\mathbb{R}^n$, $(x, y) := \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$ ($\forall x = (x_1, x_2, \cdots, x_n), y = (y_1, y_2, \cdots, y_n)$).
🧪例 3.1.4
$\ell^2 := \left\lbrace \lbrace x_n\rbrace
{n \in \mathbb{Z}+} : \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty \right\rbrace $ 上定义内积
$$
(\lbrace x_n\rbrace , \lbrace y_n\rbrace ) := \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y_n}.
$$
🧪例 3.1.5
在
$L^2[a, b]$ 上定义内积
$$
\begin{aligned}
(f, g) &:= \int_a^b f(x) \overline{g(x)} \, dx \quad \text{当 } \mathbb{K} = \mathbb{C}; \\
(f, g) &:= \int_a^b f(x) g(x) \, dx \quad \text{当 } \mathbb{K} = \mathbb{R}.
\end{aligned}
$$
🧪例 3.1.6
设
$\omega$ 是
$[0, 2\pi]$ 上的正值可测函数. 令
$$
L^2([0, 2\pi], \omega) := \left\lbrace \text{$[0, 2\pi]$ 上的复值可测函数} : \int_0^{2\pi} \omega(x) |f(x)|^2 \, dx < \infty \right\rbrace .
$$
定义内积
$$
(f, g) := \int_0^{2\pi} \omega(x) f(x) \overline{g(x)} \, dx \quad \forall f, g \in L^2([0, 2\pi], \omega).
$$
📝证明
$\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x, y \in \mathscr{X}$ 都有
$$
0 \leqslant (x + \lambda y, x + \lambda y) = (x, x) + 2 \operatorname{Re}[\overline{\lambda} (x, y)] + |\lambda|^2 (y, y).
$$
当 $(x, y) = 0$ 时, 引理显然成立. 下面考虑 $(x, y) \ne 0$ 的情况.
对 $t \in \mathbb{R}$ 在上式中令 $\lambda = t \frac{(x, y)}{|(x, y)|}$ 便有
$$
\begin{aligned}
0 &\leqslant t^2 (y, y) + 2t |(x, y)| + (x, x) \\
&= \left( t \sqrt{(y, y)} + \frac{|(x, y)|}{\sqrt{(y, y)}} \right)^2 - \frac{|(x, y)|^2}{(y, y)} + (x, x).
\end{aligned}
$$
取 $t = -\frac{|(x, y)|}{(y, y)}$ 便得到了 $|(x, y)|^2 \le (x, x)(y, y)$ ($\forall x, y \in \mathscr{X}$).
ℹ️注 3.1.7
Cauchy-Schwarz 不等式取得等号当且仅当存在 $\lambda \in \mathbb{K}$ 使得 $x + \lambda y = 0$.
💡引理 3.1.8
设 $\mathscr{X}$ 是内积空间, 则 $(\cdot, \cdot)$ 关于其诱导的范数连续.
📝证明
设
$x_n \to x$,
$y_n \to y$, 下证
$(x_n, y_n) \to (x, y)$.
$$
\begin{aligned}
|(x_n, y_n) - (x, y)| &= |(x_n, y_n) - (x_n, y) + (x_n, y) - (x, y)| \\
&\leqslant |(x_n, y_n) - (x_n, y)| + |(x_n, y) - (x, y)| \\
&= |(x_n, y_n - y)| + |(x_n - x, y)| \\
&\leqslant \|x_n\| \|y_n - y\| + \|x_n - x\| \|y\| \to 0 \quad (n \to \infty).
\end{aligned}
$$
📝定义 3.1.9 Hilbert 空间
完备的内积空间称为 Hilbert 空间.
ℹ️注 3.1.10
Hilbert 空间一定是 Banach 空间.
💡定理 3.1.11 内积空间的完备化
任何内积空间都可完备化为一个 Hilbert 空间.
📝证明
利用内积在其诱导的范数下连续.
📝定义 3.1.12 共轭双线性形式
设
$\mathscr{X}$ 为线性空间, 函数
$a(\cdot, \cdot) : \mathscr{X} \times \mathscr{X} \to \mathbb{K}$ 满足:
- ((1)) 关于第一个变元的线性性:
$a(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2, y) = \lambda_1 a(x_1, y) + \lambda_2 a(x_2, y)$ ($\forall \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}, \forall x_1, x_2, y \in \mathscr{X}$);
- ((2)) 关于第二个变元的共轭线性性:
$a(x, \lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2) = \overline{\lambda_1} a(x, y_1) + \overline{\lambda_2} a(x, y_2)$ ($\forall \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}, \forall x, y_1, y_2 \in \mathscr{X}$),
则称 $a(\cdot, \cdot)$ 为定义在 $\mathscr{X}$ 上的一个共轭双线性形式.
$\bullet$ 实线性空间上也能定义 (共轭) 双线性形式. \
$\bullet$ 内积是一个共轭双线性形式.
ℹ️注 3.1.13 极化恒等式: 共轭双线性性与二次型的关系
设
$a(\cdot, \cdot)$ 为线性空间
$\mathscr{X}$ 上的共轭双线性形式, 称
$q(x) := a(x, x)$ (
$\forall x \in \mathscr{X}$) 为
$a(\cdot, \cdot)$ 诱导的二次型, 则
\item 当 $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ 时, $a(x, y) = \frac{1}{4} [ q(x + y) - q(x - y) ]$;
\item 当 $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ 时, $a(x, y) = \frac{1}{4} [ q(x + y) - q(x - y) + i q(x + iy) - i q(x - iy) ]$.
$\bullet$ 内积诱导的范数就是内积这个共轭双线性形式诱导的二次型.
💡推论 3.1.14
当 $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ 时, $(x, y) = \frac{1}{4} ( \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 )$; \
当 $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ 时, $(x, y) = \frac{1}{4} ( \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i \|x + iy\|^2 - i \|x - iy\|^2 )$.
📝定义 3.1.15 内积空间的同构
设
$(\mathscr{X}_1, (\cdot, \cdot)_1)$ 和
$(\mathscr{X}_2, (\cdot, \cdot)_2)$ 是两个内积空间, 且
$\| \cdot \|_j := \sqrt{(\cdot, \cdot)_j}$ (
$j = 1, 2$). 若存在 (
$B^*$ 空间意义上的) 等距同构映射
$T : (\mathscr{X}_1, \| \cdot \|_1) \to (\mathscr{X}_2, \| \cdot \|_2)$, 则
$$
(Tx, Ty)_2 = (x, y)_1 \quad (\forall x, y \in \mathscr{X}_1).
$$
此时, 称内积空间 $(\mathscr{X}_1, (\cdot, \cdot)_1)$ 和 $(\mathscr{X}_2, (\cdot, \cdot)_2)$ 等距同构.
📝证明
利用极化恒等式可证明内积空间中保范的同构也保内积.
💡定理 3.1.16
在等距同构的意义下, 内积空间有唯一的完备化空间.
❓练习 3.1.17
题目
复内积空间情形的极化恒等式证明.
题目
$l^p(1\leqslant p\leqslant \infty)$ 是否可以引入内积使得范数为内积诱导的?