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5.2 赋范空间垂直

赋范空间上的垂直

定义 5.2.1
设 $\mathscr X$ 是 $B^*$ 空间.

设 $M$ 是 $\mathscr X$ 的子空间, 定义 $^\perp M:=\lbrace f\in \mathscr X^*:f(x)=0(\forall x\in M)\rbrace$.

设 $N$ 是 $\mathscr X^*$ 的子空间, 定义 $N^\perp:=\lbrace x\in\mathscr X: f(x)=0(\forall f\in N)\rbrace$.

注 5.2.2
$M$ 的左垂直 $^\perp M$ 是 $\mathscr X^*$ 的闭子空间; $N$ 的右垂直 $N^\perp$ 是 $\mathscr X$ 的闭子空间.

命题 5.2.3

  • ((1)) $( ^{\perp}M)^\perp=\overline{M}$.
  • ((2)) $^{\perp}(N^\perp)\supset \overline{N}$.
  • ((3)) 若 $X$ 自反, 则 $^{\perp}(N^\perp)=\overline{N}$.

证明

设 $\mathscr X,\mathscr Y$ 是 $B^*$ 空间, $T\in\mathscr L(\mathscr X,\mathscr Y)$, 则 $T^*\in\mathscr L(\mathscr Y^*,\mathscr X^*)$

命题 5.2.4

  • ((1)) $\ker(T^*)=^\perp \text{Ran}(T)$.
  • [(2)] $(\ker(T^*))^\perp=(^\perp\text{Ran(T)})^\perp=\overline{\text{Ran}(T)}$.
  • [(3)] $\ker(T)=\text{Ran}(T^*)^\perp$.
  • [(4)] $^\perp\ker (T)=^\perp(\text{Ran}(T^*)^\perp)\supset\overline{\text{Ran}(T^*)}$.

  1. 空间 $\mathscr X$ 的自反性蕴含 $^\perp\ker(T)=\overline{\text{Ran}(T^*)}$.
  2. 若 $T=R+K$ 其中 $R$ 可逆, $K$ 紧, 则也有 $^\perp\ker(T)=\overline{\text{Ran}(T^*)}$.