题目

令 $W_0^{1,2}[0,1]$ 是

$$ C_0^1[0,1]:=\lbrace f\in C^1[0,1]:f(0)=f(1)=1\rbrace $$

在

$$ \rho(f,g):=\left(\int_0^1 |f(x)-g(x)|^2+|f'(x)-g'(x)|^2\text{d} x\right)^{1/2} $$

度量下的完备化空间.

证明: - ((1)) $A:=\lbrace f\in W_0^{1,2}[0,1]:\rho(f,\mathbf{0})\leqslant 1\rbrace$ 是 $C[0,1]$ 中的列紧集. - ((2)) $A$ 是 $L^2[0,1]$ 中的列紧集 (Rellich 紧嵌入定理).

题目

Hilbert 空间自反.

题目

定义 $X=\lbrace x\triangleq\lbrace x_n\rbrace :\sum\limits_{n=1}^\infty|nx_n|^2<\infty \rbrace ,(x,y)_X=\sum\limits_{n=1}^\infty n^2x_n\overline{y_n}$. $T:X\to l^2\quad Tx=x$. 证明 $\overline{R(T)}=l^2$.

题目

设 $X$ 是 Hilbert 空间, $U\in\mathscr L(X)$ 称为酉算子, 若

$$ (Ux,Uy)=(x,y),\forall x,y\in X\text{\ 且\ }R(U)=X. $$

若 $U$ 是酉算子, 则 $\sigma(U)\subset\lbrace \lambda\in\mathbb C:|\lambda|=1\rbrace $, 且 $\sigma_r(U)=\varnothing$.

题目

设 $X$ 是 $B$ 空间, $T\in\mathfrak{C}(X)$, 则对于 $g\in X^*$, $(I^*-T^*)f=g$ 有解 $\Leftrightarrow$ $y\in\ker(I^*-T^*)^\perp$.

题目

((1)) 设 $X$ 是 Hilbert 空间, 若 $T=T^*$ 且 $(Th,h)=0 (\forall h\in X)$, 则 $T=0$.
[(2)] 若 $X$ 是复 Hilbert 空间, $T\in\mathscr L(X)$ 且 $(Th,h)=0(\forall h\in X)$, 则 $T=0$.

题目

设 $X, Y$ 均为 $B$ 空间, $A \in \mathscr{L}(X,Y)$, $f \in X^*$. 证明：若存在常数 $C>0$ 使得

$$ |\langle f, x\rangle| \le C\|Ax\|, \quad \forall\, x\in X, $$

则 $f \in \operatorname{Ran}(A^*)$. 1. 设 $X, Y_1, Y_2$ 均为 $B$ 空间, $A_1 \in \mathscr{L}(X,Y_1)$, $A_2 \in \mathscr{L}(X,Y_2)$. 证明：

$$ \operatorname{Ran}(A_1^*) \subset \operatorname{Ran}(A_2^*) $$

当且仅当存在常数 $C>0$ 使得

$$ \|A_1 x\| \le C\|A_2 x\|, \quad \forall\, x\in X. $$

题目

设 $X$ 是 $B^*$ 空间, $x_n,x\in X$, 则 $x_n\overset{w}{\rightarrow}$ 的充要条件是

((1)) $\lbrace x_n\rbrace $ 有界;
((2)) 设 $G$ 是 $X^*$ 的一个稠密子集, $\forall f\in G$ 都有 $f(x_n)\to f(x)$.

题目

设 $M$ 是 $B^*$ 空间 $X$ 的子集, $x_1$ 是 $X$ 中的元素, 则 $x_1\in\overline{\text{span}\lbrace M\rbrace }$ 等价于 $\forall f\in X^*$ 只要 $f(x)=0(\forall x\in M)$ 就有 $f(x_1)=0$.

题目

(P101/13) 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $A\in\mathscr L(X,Y)$ 是满射. 求证: 如果在 $Y$ 中 $y_n\to y_0$, 则 $\exists C>0$ 与 $x_n\to x_0$, 使

$$ Ax_n=y_n,\quad\text{且}\quad \Vert x_n \Vert\leqslant C\Vert y_n \Vert. $$

题目

(P113/22) 设 $a(x,y)$ 是 Hilbert 空间 $\mathscr{H}$ 上的一个共轭双线性泛函, 满足：

存在常数 $M>0$, 使得

$$ |a(x,y)| \le M \|x\|\,\|y\|, \quad \forall\, x,y \in \mathscr{H}; $$

存在常数 $\delta>0$, 使得

$$ |a(x,x)| \ge \delta \|x\|^2, \quad \forall\, x \in \mathscr{H}. $$

则对任意 $f \in \mathscr{H}^*$, 存在唯一的 $y_f \in \mathscr{H}$, 使得

$$ a(x,y_f)=f(x), \quad \forall\, x \in \mathscr{H}, $$

并且 $y_f$ 连续依赖于 $f$.

题目

证明: 赋范空间中的闭凸集是弱闭的, 即若 $M$ 是闭凸集, $\lbrace x_n\rbrace \subset M$ 且 $x_n\overset{w}{\rightarrow} x_0$, 则 $x_0\in M$.

题目

设 $X$ 是 Banach 空间. 若 $T\in L(X)$, 则 $\overline{R(T)}=N(T^)^\perp=\lbrace x\in X: f(x)=0,\forall f\in N(T^)\rbrace $.

题目

(P147/17) 求证: 由 $x_n\overset{w}{\rightarrow}x_0\Rightarrow \varliminf\limits_{n\to\infty}\Vert x_n \Vert\geqslant\Vert x_0 \Vert$.

题目

(P151/24) 求证: 在自反的 $B$ 空间 $X$ 中, 集合的弱列紧性与有界性是等价的.

题目

(P204/5) 设 $X$ 是 Hilbert 空间, $A:X\to X$ 是紧算子, 又设 $x_n\overset{w}{\rightarrow}x_0$, $y_n\overset{w}{\rightarrow}y_0$, 求证:

$$ (x_n,Ay_n)\to (x_0,Ay_0)\quad (n\to \infty). $$

题目

$A:(x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots)\mapsto (0,x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots)$ 为 $l^2$ 上的右平移算子. 研究 $A$ 的谱集 ($\sigma_p(A),\sigma_r(A),\sigma_c(A)$).

证明

因 $\Vert A \Vert=1$, 由谱集的性质知 $\sigma(A)\subset\lbrace \lambda\in\mathbb C:|\lambda|\leqslant\Vert A \Vert=1\rbrace $.

$A^*$ 为左平移算子. 由共轭算子的性质知 $\text{Ran}(\lambda I-A)^\perp=\text{Ker}(\overline{\lambda}I-A^*)$.

(1) $\sigma_p(A)=\varnothing$.

设 $(\lambda I-A)x=0$, 则 $\lambda x_n=x_{n_1}, \lambda x_1=0$. 从而 $x=0$.

故 $\sigma_p(A)=\varnothing$.

(2)

设 $(\overline{\lambda}I-A^*)x=0$, 则有 $\overline{\lambda}x_n=x_{n+1}$.

故 $x_{n+1}=\overline{\lambda}^n x_1$. 从而当 $|\lambda|<1$ 时 $N(\overline{\lambda}I-A^*)=\lbrace c(1,\overline{\lambda},\overline{\lambda}^2,\ldots):c\in\mathbb{C}\rbrace \neq\lbrace 0\rbrace $

所以 $\overline{\text{Ran}(\lambda I-A)}=N(\overline{\lambda}I-A^*)^\perp\neq X$. 故 $\lambda\in\sigma_r(A)$.

又有界线性算子的谱是闭集, 从而 $\sigma(A)=\lbrace \lambda:|\lambda|\leqslant 1\rbrace $.

而当 $|\lambda|=1$ 时, $N(\overline{\lambda}I-A^*)=\lbrace 0\rbrace $, 从而 $\lambda\in\sigma_c(A)$.

综上 $\sigma_p(A)=\varnothing$, $\sigma_c(A)=\lbrace \lambda\in\mathbb{C}:|\lambda|=1\rbrace $, $\sigma_r(A)=\lbrace \lambda\in\mathbb{C}:|\lambda|<1\rbrace $.

题目

$A:(x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots)\mapsto (x_2,\cdots,x_n,\cdots)$ 为 $l^2$ 上的左平移算子. 研究 $A$ 的谱集 ($\sigma_p(A),\sigma_r(A),\sigma_c(A)$).

证明

$\sigma_p(A)=\lbrace \lambda\in\mathbb{C}:|\lambda|<1\rbrace ,\sigma_c(A)=\lbrace \lambda\in\mathbb{C}:|\lambda|=1\rbrace $ 且 $\sigma(A)=\sigma_p(A)\cup\sigma_c(A)$.