22级强基期中

任课老师: xxx.

题目

(15 分) 证明: 全体多项式无法构成 $B$ 空间.

题目

(20 分) 对 $f\in C^3[a,b]$ 及其各阶导数 $f^{(n)}$ 令

$$ \begin{array}{l} \Vert f \Vert:= \max\limits_{0\leqslant n\leqslant 3}\max\limits_{x\in [a,b]} |f^{(n)}(x)|\\ \Vert f \Vert_*:= \max\limits_{x\in[a,b]}|f(x)|+\max\limits_{x\in[a,b]}|f^{(3)}(x)| \end{array} $$

(5 分) 证明: $(C^3[a,b],\Vert \cdot \Vert)$ 是 $B$ 空间.
(15 分) 证明: $\Vert \cdot \Vert$ 与 $\Vert \cdot \Vert_*$ 等价.

题目

(20 分) 设 $\mathscr X$ 是 $B$ 空间, $\mathscr Y$ 是 $B^*$ 空间, $A_0,A_1\in\mathscr L(\mathscr X,\mathscr Y)$. 对 $t\in[0,1]$ 定义 $A_t=(1-t)A_0+tA_1$. 假设存在常数 $M>0$ 使得

$$ \Vert x \Vert\leqslant M\Vert A_tx \Vert\quad\forall x\in\mathscr X,\forall t\in [0,1] $$

. 并且存在 $s\in[0,1]$ 使得 $A_s$ 是满射.

证明: 对任意的 $t\in[0,1]$, $A_t$ 都是满射且 $\norm{A_t^{-1}}\leqslant M\quad(\forall t\in[0,1])$.

题目

(15 分) 设 $s\in\mathbb{R}$ 并定义如下复值数列构成的集合

$$ X_s=\lbrace \bm x=(x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots)|\sum\limits_{n=1}^\infty n^s|x_n|^2<\infty\rbrace $$

定义 $\Vert \lbrace x_n\rbrace \Vert_s=\left(\sum\limits_{n=1}^\infty n^s|x_n|^2\right)^{1/2}$.

(5 分) 证明: $(X_s,\Vert \cdot \Vert_s)$ 是 $B$ 空间且可以定义内积形成 $Hilbert$ 空间.
(10 分) 设 $s>t$ 证明: $(X_s,\Vert \cdot \Vert_s)$ 中的单位闭球是 $(X_t,\Vert \cdot \Vert_t)$ 中的紧集.

题目

(15 分) 设 $\mathscr X$ 是赋范线性空间而 $f_0,f_1,\cdots,f_n\in\mathscr X^*$, 其满足

$$ N(f_0)\supseteq N(f_1)\cap N(f_2)\cap \cdots\cap N(f_n). $$

试证: 存在常数 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$, 使得 $f_0=\alpha_1f_1+\alpha_2f_2+\cdots\alpha_nf_n$.

题目

(15 分) 已知 $\mathscr X=L^2[0,1]$ 是复 Hilbert 空间, 其上存在有界线性泛函

$$ T_nx=\int_0^1 (ts)^n x(s)\text{d} s,\quad Tx=\int_0^1 e^{ts}x(s)\text{d} s. $$

试证明:

((1)) 恒有 $\langle T_nx,x\rangle\geqslant 0$ 以及 $\langle Tx,x\rangle\geqslant 0$;
[(2)] 对于任意的 $y\in\mathscr X$, 积分方程

$$ x(t)+\int_0^1e^{ts}x(s)\text{d} s=y(t) $$

总存在唯一解 $x(t)$, 且存在常数 $C$, 使得 $\Vert X \Vert_{L^2[0,1]}\leqslant C\Vert y \Vert_{L^2[0,1]}(\forall y\in\mathscr X)$.