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线性性: $\widetilde{T}(\alpha[x]+\beta[y])=\widetilde{T}([\alpha x+\beta y])=T(\alpha x+\beta y)=\alpha Tx+\beta Ty=\alpha \widetilde{T}([x])+\beta\widetilde{T}([y])$.

由 $T$ 是满射, 故 $\widetilde{T}$ 是满射.

下证 $\widetilde{T}$ 是单射, 设 $\widetilde{T}([x])=\widetilde{T}([y])$, 则有 $Tx=Ty$, 故 $T(x-y)=0$, 即 $x-y\in N(T)$. 所以 $y=x+y-x\in [x]$. 即 $[x]=[y]$.

所以 $\widetilde{T}$ 是双射.

此外 $\norm{\widetilde{T}([x])}=\Vert T(x+z) \Vert\leqslant \Vert T \Vert\Vert x+z \Vert\quad\forall z\in N(T)$.

故 $\norm{\widetilde{T}([x])}\leqslant\Vert T \Vert\inf\limits_{z\in N(T)}\Vert x+z \Vert=\Vert T \Vert\Vert [x] \Vert$.

从而 $\widetilde{T}$ 有界.

由 $X$ 完备, $N(T)$ 是闭子空间, 从而 $X/N(T)$ 完备.

再由 $X/N(T),Y$ 完备, 根据 Banach 逆映射定理知 $\widetilde{T}^{-1}$ 也有界.

综上 $\widetilde{T}$ 是线性同胚映射.

由 $X=M\oplus N_1$, 故 $\forall x\in X$, 可唯一表示为 $x=x_0+x_1,x_0\in M, x_1\in N_1$.

定义 $T: X\to N_1,\quad Tx=x_1$.

线性性: $T(\alpha x+\beta x')=T(\alpha x_0+\beta x_0'+\alpha x_1+\beta x_1')=\alpha x_1+\beta x_1'=\alpha T(x_0+x_1)+\beta T(x_0'+x_1')=\alpha T(x)+\beta T(x')$.

有界性:

考虑 $x_n\to x$ 于 $X$ 且 $Tx_n\to y$ 于 $N_1$.

设 $x_n=m_n+n_n(m_n\in M, n_n\in N_1)$, 则 $n_n\to y$.

且 $m_n=x_n-n_n\to x-y$, 由 $M$ 是闭的, $x-y\in M$, 由 $N_1$ 是闭的, $y\in N_1$.

所以 $x=(x-y)+y$ 是 $x$ 的分解, 且有 $Tx=y$. 故 $T$ 为闭算子.

再根据闭图像定理得到 $T$ 是有界算子.

又 $\forall x_1\in N_1$, $Tx_1=x_1$, 所以 $T$ 是满射.

由 $N(T)=M$, 定义 $\widetilde{T}:X/M\to N_1,\quad \widetilde{T}([x])=Tx$. 由 3.2.2 结论, $\widetilde{T}$ 是线性同胚映射, 从而 $N_1$ 和 $X/M$ 同胚.

同理, $N_2$ 和 $X/M$ 同胚.

故 $N_1$ 和 $N_2$ 同胚, 因为可以将上述两个线性同胚映射复合.

• [(1)]$\forall x\in N(T)$, 满足 $(I-A)x=0\Rightarrow Ax=x$. 根据商空间等价类定义, 存在点列 $\lbrace x_n\rbrace $ 满足 $\Vert x_n \Vert\leqslant \Vert [x] \Vert+\frac1n$. 任取一代表元 $x_0$, 则点列 $\lbrace x_n-x_0\rbrace $ 是 $N(T)$ 中的有界列. 记 $y_n=x_n-x_0$, 由 $A$ 是紧算子, 所以 $\lbrace Ay_n\rbrace $ 是列紧的, 又 $Ay_n=y_n$, 所以 $\lbrace y_n\rbrace $ 是列紧的, 设 $\lbrace y_{n_k}\rbrace $ 收敛. 由 $T$ 是有界线性算子, 从而 $\text{Ker} T$ 是闭的, 故 $y_{n_k}\to y\in \text{Ker}T$. 所以 $x_0+y_{n_k}\to x_0+y\in [x]$. 且由 $\lbrace x_n\rbrace $ 的取法直接有 $\Vert x_0+y \Vert=\Vert [x] \Vert$.
• ((2)) 若有解 $x$, 那么 $[x]=x+N(T)$ 均是 $Tx=y$ 的解. 由上一问知 $\exists x_0$, 使得 $\Vert x_0 \Vert=\Vert [x] \Vert$. 故 (2) 成立.

- [(1)] 考虑 $T^k=(I-A)^K=I-\sum\limits_{j=1}^k\binom{k}{j}(-1)^{k-1}A^k\triangleq I-T'$. 由 $A$ 是紧算子, 所以 $T'$ 也是紧算子. 所以根据 Riesz-Fredholm 定理 $N(T^k)=N(I-T')$ 是有限维的. - [(2)] 同 (1) $T^k=I-T'$, 故由 Riesz-Fredholm (i) 可知 $R(I-T')$ 是闭的.

• [(1)] 由微积分基本定理 $Tx(t)$ 关于 $t$ 可导, 故 $Tx\in C[0,1]$. 线性性: 由积分的线性性, $T(\alpha x(t)+\beta y(t))=\displaystyle\int_{0}^{t} \alpha x(s)+\beta y(s)\text{d} s=\alpha Tx(t)+\beta Ty(t)$. 有界性: $\Vert Tx \Vert=\max\limits_{t\in[0,1]}|Tx(t)|\leqslant\max\limits_{t\in[0,1]}t\Vert x \Vert\leqslant\Vert x \Vert$. 任取 $X$ 中的有界列 $\lbrace x_n\rbrace $, $\lbrace Tx_n\rbrace \subset C[0,1]$, 根据 AA 定理, $\lbrace Tx_n\rbrace $ 列紧 $\Leftrightarrow$ $\lbrace Tx_n\rbrace $ 一致有界且等度连续. 由 $\lbrace x_n\rbrace $ 有界, 故存在 $M>0$, 满足 $\Vert x_n \Vert<M$, 于是 $|Tx_n(t)|\leqslant t M\leqslant M$. 故一致有界. $|Tx_n(t_1)-Tx_n(t_2)|\leqslant|t_2-t_1|M$, 故对任意 $\varepsilon>0$, 取 $\delta=\frac{\varepsilon}{M}$ 则有 $|Tx_n(t_1)-Tx_n(t_2)|\leqslant \varepsilon$ 即等度连续. 从而 $\lbrace Tx_n\rbrace $ 列紧. 综上 $T$ 是紧算子.
• [(2)] 由 Riesz-Schauder 理论, $\sigma(T)\setminus\lbrace 0\rbrace =\sigma_p(T)\setminus\lbrace 0\rbrace $, 且连续函数空间维数是无穷故 $0\in\sigma(T)$. 当 $\lambda\neq 0$ 时. 设 $Tx(t)=\lambda x(t)$, 由微积分基本定理, 等式左侧可导, 从而右侧也可导, 故有 $x(t)\in C^1[0,1]$. 则有 $x(t)=\lambda x'(t)$. 再带入 $t=0$, $\lambda x(0) = Tx(0)=\displaystyle\int_{0}^{0} x(s)\text{d} s=0$, 故 $x(0)=0$. 下面解微分方程 $x(t)=\lambda x'(t)$ 得到 $x(t)=Ce^{t/\lambda}$, 带入 $x(0)=0$ 得 $C=0$. 从而 $x=0$ 即 $(\lambda I-T)x=0$ 只有零解. 故 $\sigma_p(T)$ 中不含非 0 元. 结合 Riesz-Schauder 非零谱点均为特征值, 从而谱点只有 $0$. 综上 $\sigma(T)=\lbrace 0\rbrace $. 不变子空间部分不考.