251208

3.1.7

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 是一个可测集, 又设 $f$ 是 $\Omega$ 上的有界可测函数, 求证: $F:x(t)\mapsto f(t)x(t)$ 是 $L^2(\Omega)$ 上的紧算子, 当且仅当 $f=0(\text{a.e. 于 }\Omega)$.

证明

$\Leftarrow$: $f=0,\text{a.e.}$ 时, 有 $Fx=0,\text{a.e.}$ 在 $L^2$ 度量下均为零元, 从而 $\text{Ker}(F)=L^2(\Omega)$. 故显然 $F$ 是紧算子.

$\Rightarrow$:

3.1.8

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 是一个可测集, 又设 $K\in L^2(\Omega\times\Omega)$, 求证

$$ A:u(x)\mapsto\int_{\Omega}K(x,y)u(y)\text{d} y\quad(\forall u\in L^2(\Omega)) $$

是 $L^2(\Omega)$ 上的紧算子.

证明

由于 $L^2$ 是自反空间, 根据紧算子的性质只需证明 $A$ 全连续, 即证明当 $u_n\xrightarrow{w}0$ 时有 $Au_n\to 0$.

由 $K\in L^2(\Omega\times\Omega)$, 从而 $\Vert Au \Vert\leqslant\Vert u \Vert\displaystyle\int_{\Omega}\Vert K(x,\cdot) \Vert\text{d} x=\Vert K(\cdot,\cdot) \Vert\cdot\Vert u \Vert$, 即 $A$ 有界.

我们有 $Au_n\xrightarrow{w}0$, 又 $L^2(\Omega)$ 是 Hilbert 空间, 故只需要证明 $\Vert Au_n \Vert\to 0$ 即可. (习题 2.5.19)

设 $\varphi_x(u)=\displaystyle\int_{\Omega}K(x,y)u(y)\text{d} y$. 由 Cauchy-Schwarz 不等式 $|\varphi_x(u)|\leqslant\Vert K(x,\cdot) \Vert\cdot\Vert u \Vert$ 从而 $\varphi_x$ 是连续的, 故 $\varphi_x\in L^2(\Omega)^*$.

那么由 $u_n\xrightarrow{w}0$ 知 $\varphi_x(u_n)\to 0$, 即 $\forall x\in\Omega, Au_n(x)\to 0$.

由 $u_n\xrightarrow{w}0$ 故存在 $M>0$ 使得 $\Vert u_n \Vert<M$. (考虑到第二共轭空间的自然嵌入 $J_{u_n}$ 作为有界线性算子族对 $\Vert f \Vert=1$ 一致有界.)

从而

$$ |Au_n(x)|\leqslant M\Vert K(x,\cdot) \Vert $$

由题设 $G(x)=M^2\displaystyle\int_{\Omega}|K(x,y)|^2\text{d} y\in L^2(\Omega)$ 且控制了 $|Au_n(x)|$, 根据 Lebesgue 控制收敛定理

$$ \Vert Au_n \Vert^2=\int_{\Omega}|\int_\Omega K(x,y)u_n(y)|^2\text{d} x\to 0 $$

3.1.10

设 $\mathscr X$ 是 $B$ 空间, $A\in\mathfrak{C}(\mathscr X)$, $\mathscr X_0$ 是 $\mathscr X$ 的闭子空间并使得 $A(\mathscr X_0)\subset\mathscr X_0$, 求证: 映射

$$ T:[x]\mapsto[Ax] $$

是商空间 $\mathscr X/\mathscr X_0$ 上的紧算子.

证明

对 $X/X_0$ 中的任意有界列 $\lbrace [x_n]\rbrace $, 存在代表元列 $\lbrace x_n'\rbrace $ 满足 $\Vert x_n' \Vert\leqslant \Vert [x_n] \Vert+1$ 且有 $T[x_n]=T[x_n']=[Ax_n']$, 从而 $\lbrace x_n'\rbrace $ 是 $X$ 中的有界集, 故 $\lbrace Ax_n'\rbrace $ 是列紧的. 即存在收敛子列 $\lbrace Ax_{n_k}'\rbrace $, 设收敛至 $x_0$.

下证 $\norm{[Ax_{n_k}']-[x_0]}\to 0$.

有 $\norm{[Ax_{n_k}']-[x_0]}=\norm{[Ax_{n_k}'-x_0]}=\inf\limits_{y\in X_0}\norm{Ax_{n_k}'-x_0+y}\leqslant\norm{Ax_{n_k}'-x_0}\to 0$.

从而 $[Ax_{n_k}']\to [x_0]$, 即 $\lbrace [Ax_n']\rbrace $ 存在收敛子列. 所以 $T$ 将有界集映成列紧集是紧算子.

3.1.11

设 $\mathscr X,\mathscr Y,\mathscr Z$ 是 $B$ 空间, $\mathscr X\subset\mathscr Y\subset\mathscr Z$, 如果 $\mathscr X\to\mathscr Y$ 的嵌入映射是紧的, $\mathscr Y\to\mathscr Z$ 的嵌入映射是连续的, 求证: $\forall \varepsilon>0, \exists c(\varepsilon)>0$, 使得

$$ \Vert x \Vert_{\mathscr Y}\leqslant\varepsilon\Vert x \Vert_{\mathscr X}+c(\varepsilon)\Vert x \Vert_{\mathscr Z}\quad(\forall x\in\mathscr X). $$

证明

反设不成立, 即存在 $\varepsilon>0$, 存在 $\lbrace x_n\rbrace $ 满足 $\Vert x_n \Vert_Y>\varepsilon\Vert x_n \Vert_X+n\Vert x_n \Vert_Z$. 设 $u_n=x_n/\Vert x_n \Vert_Y$ 等价于

$$ 1>\varepsilon\Vert u_n \Vert+n\Vert u_n \Vert_Z $$

从而得到

$$ \Vert u_n \Vert_X<\frac 1\varepsilon,\quad \Vert u_n \Vert_Z<\frac1n $$

即 $\lbrace u_n\rbrace $ 在 $X$ 中有界, $\lbrace u_n\rbrace $ 在 $Z$ 中趋于 $0$.

由 $X\to Y$ 的嵌入映射是紧的, 从而在 $Y$ 中存在收敛子列, 设 $u_{n_k}\xrightarrow{\Vert \cdot \Vert_Y}u_0$.

再由 $Y\to Z$ 是连续的, 所以 $u_{n_k}\xrightarrow{\Vert \cdot \Vert_Z}u_0$. 结合前面的结论有 $u_0=0$.

但我们还有 $\Vert u_n \Vert_Y=1$, 所以 $\Vert u_0 \Vert_Y=1$ 矛盾!

综上假设不成立, 即原命题成立.

3.2.1

设 $\mathscr X$ 是 $B$ 空间, $M\subset\mathscr X$ 是一个闭线性子空间, $\text{codim}M=n$, 求证: 存在线性无关集 $\lbrace \varphi_k\rbrace _{k=1}^\infty\subset\mathscr X^*$, 使得

$$ M=\bigcap\limits_{k=1}^n N(\varphi_k). $$

证明

由题设条件 $\text{dim}X/M=\text{codim}M=n$. 从而可以取 $X/M$ 的基 $\lbrace [e_1],[e_2],\ldots,[e_n]\rbrace $.

考虑映射 $g_i([x])=g_i(\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i[e_i])=\alpha_i$ 显然是连续的, 从而是有界线性泛函.

那么定义 $\varphi_i(x)=g_i([x])$. 下证 $\lbrace \varphi_i\rbrace $ 线性无关.

设 $\sum\limits_{k=1}^n c_k\varphi_k=0$ 那么有

$$ 0=\sum\limits_{k=1}^n c_k\varphi_k(x)=\sum\limits_{k=1}^nc_kg_k([x])\quad\forall x\in X $$

依次代入 $[x]=[e_j]+M$ 则有 $c_j=0$. 所以 $\lbrace \varphi_i\rbrace $ 线性无关.

首先, 显然有 $\varphi_i(M)=g_i([0])=[0]$. 所以 $M\subset N(\varphi_i)$, 即 $M\subset\bigcap\limits_{k=1}^n N(\varphi_k)$.

另一方面, 若 $x\in\bigcap\limits_{k=1}^n N(\varphi_k)$, 即 $0=\varphi_k(x)=g_k([x])$.

设 $[x]=\sum\limits_{k=1}^n c_k [e_k]$, 依次带入 $g_k$ 得到 $g_k([x])=c_k=0$. 从而 $[x]=[0]$, 即 $x\in M$.

综上 $M=\bigcap\limits_{k=1}^n N(\varphi_k)$.