2.6.2
设 $A$ 是闭线性算子, $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\in\sigma_p(A)$ 两两互异, 又设 $x_i$ 是对应于 $\lambda_i$ 的特征元 $(i=1,2,\cdots,n)$. 求证: $\lbrace x_1,x_2,\cdots,x_n \rbrace$ 是线性无关的.
$n=1$ 时显然成立. 设 $n=k-1$ 时成立, 当 $n=k$ 时. 设 $c_1x_1+\cdots+c_kx_k=0$. 考虑 $(\lambda_k I-A)$ 作用在 $\sum c_ix_i$ 上, 由 $(\lambda_k I-A)x_k=0$ 从而 $(\lambda_kI-A)(\sum\limits_{i=1}^{k}c_ix_i)=(\lambda_kI-A)(\sum\limits_{i=1}^{k-1}c_ix_i)=(\lambda_kI-A)(0)=0$ 根据归纳假设 $x_1,\ldots,x_{k-1}$ 线性无关, 从而 $c_1=c_2=\cdots=c_{k-1}=0$, 故 $c_kx_k=0$ 则有 $c_k=0$. 综上 $x_1,\ldots,x_k$ 线性无关.
证明
3.1.3
设 $X,Y$ 是 $B$ 空间, $A\in\mathscr L(X,Y), K\in \mathfrak C(X,Y)$, 如果 $R(A)\subset R(K)$, 求证: $A\in\mathfrak C(X,Y)$.
则 $\widetilde K$ 良定义、连续、紧且单射，并且 $R(\widetilde K)=R(K)$。 由 $R(A)\subset R(K)=R(\widetilde K)$，对每个 $x\in X$，存在唯一的 $u\in X/N$ 使得 于是可定义线性算子 下面证 $B$ 有界：取 $x_n\to x$ 且 $Bx_n\to u$。则 另一方面 $Ax_n\to Ax$，故 $Ax=\widetilde K(u)$。由定义 $Bx$ 是满足 $\widetilde K(Bx)=Ax$ 的唯一元素，所以 $u=Bx$。因此 $B$ 图像闭，$X, X/N$ 都是 Banach 空间，闭图定理推出 $B$ 有界。 最后 由于 $\widetilde K$ 紧、$B$ 有界，故 $A$ 为紧算子。
证明
3.1.4
设 $H$ 是 Hilbert 空间, $A:H\to H$ 是紧算子, 又设 $x_n\overset{w}{\rightarrow}x_0$, $y_n\overset{w}{\rightarrow} y_0$, 求证:
由 $x_n\xrightarrow{w}x_0$ 知 $\Vert x_n \Vert$ 有界. 所以由 Cauchy-Schwarz 不等式 $|(x_n,Ay_n-Ay_0)|\leqslant\Vert x_n \Vert\Vert Ay_n-Ay_0 \Vert\to 0$. 下证 $(x_n,Ay_0)\to (x_0,Ay_0)$. 由 Riesz 表示定理, 存在唯一的泛函 $f$ 满足 $f(x)=(x,Ay_0)$, 故等价于证明 $f(x_n)\to f(x_0)$ 由 $x_n$ 弱收敛立即得到. 综上 $(x_n,Ay_n)\to (x_0,Ay_0)$.
证明
3.1.5
设 $\mathscr X,\mathscr Y$ 是 $B$ 空间, $A\in\mathscr L(\mathscr X,\mathscr Y)$, 如果 $R(A)$ 闭且 $\dim R(A)=\infty$, 求证: $A\notin\mathfrak{C}(\mathscr X,\mathscr Y)$.
考虑到商空间上的映射 $\widetilde{A}:X/\text{Ker} A\to R(A)$. 由于 $X$ 是 $B$ 空间, $A$ 有界, 从而 $\text{Ker} A$ 是闭子空间, 故 $X/\text{Ker} A$ 是 $B$ 空间. 于是 $\widetilde{A}$ 是双射. 再根据 Banach 逆映射定理得到 $A^{-1}$ 也是有界的. 反设 $A$ 是紧算子. 那么对于 $\widetilde{A}$ 及 $X/\text{Ker} A$ 中的任意有界集, 取其中每个元素的代表元满足 $\Vert x \Vert\leqslant\Vert [x] \Vert+1$, 就构成了 $X$ 中的一个有界集记作 $X_0$, 又 $A(x)=\widetilde{A}([x])$, 从而 $A(X_0)=\widetilde{A}([X_0])$. 再根据 $A$ 的紧性, $\widetilde{A}([X_0])$ 是列紧的, 从而 $\widetilde{A}$ 也是紧算子. 但根据紧算子的性质, 如果 $X,Y$ 中有一个是无穷维的, 那么就不存在有界逆, 这与 $A^{-1}$ 有界矛盾. 从而 $A$ 不是紧算子.
证明
3.1.6
设 $w_n\in\mathbb K, w_n\to 0(n\to\infty)$, 求证: 映射
是 $l^p(p\geqslant 1)$ 上的紧算子.
显然 $T_N$ 是有穷秩算子, 从而 $T_N$ 是紧算子. 又 $\Vert T\xi-T_N\xi \Vert_{l^p}\leqslant\sup\limits_{n\geqslant N}|\omega_n|\cdot\Vert \xi \Vert_{l^p}$ 即 $\Vert T-T_n \Vert\leqslant\sup\limits_{n\geqslant N}|\omega_n|\to $ $(N\to\infty)$. 又由 $Y$ 是 Banach 空间, 故 $\overline{F(X,Y)}\subset \mathfrak C(X,Y)$, 从而 $T\in C(l^p)$ 是紧算子.
证明