2.5.9
设 $H$ 是 Hilbert 空间, $A\in \mathscr L (H)$ 并满足
$$
(Ax,y)=(x,Ay)\quad (\forall x,y\in H)
$$
求证:
- ((1)) $A^*=A$;
- ((2)) 若 $R(A)$ 在 $H$ 中稠密, 则方程 $Ax=y$ 对 $\forall y\in R(A)$ 存在唯一解.
📝证明
- ((1)) 对任意的 $y\in H$, 设 $A^*y=y'$, 我们有 $(Ax,y)=(x,y')\quad\forall x\in H$, 根据题设条件得到 $(x,y')=(Ax,y)=(x,Ay)$, 从而有 $Ay=y'$. 即 $Ay=A^*y(\forall y\in H)$. 故 $A=A^*$.
- [(2)] 存在唯一解只需证 $A$ 是单射. 根据 Hilbert 空间的性质 $\text{Ker}(T^*)=\text{Ran}(T)^\perp$. 又 $R(A)$ 在 $H$ 中稠密, 从而 $\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^*)=\text{Ran}(A)^\perp=\lbrace 0\rbrace $. 即 $A$ 是单射, 只有唯一解.
2.5.12
设 $\mathscr X,\mathscr Y$ 是 $B$ 空间, $T$ 是 $\mathscr X$ 到 $\mathscr Y$ 的线性算子, 又设对 $\forall g\in\mathscr Y^*$, $g(Tx)$ 是 $\mathscr X$ 上的有界线性泛函, 求证: $T$ 是连续的.
📝证明
考虑 $G=\lbrace g:\Vert g \Vert=1\rbrace $. 那么由 Hahn-Banach 定理可得
$\forall x\in X$
$$
\sup\limits_{g\in G}|gT(x)|=\sup\limits_{g\in G}|g(Tx)|=\Vert Tx \Vert<\infty
$$
从而由一致有界定理知存在 $M>0$ 使得 $\Vert gT \Vert\leqslant M \forall g\in G$.
所以
$$
\Vert Tx \Vert=\sup\limits_{g\in G}|gT(x)|\leqslant M\Vert x \Vert
$$
即 $\Vert T \Vert\leqslant M$, $T$ 有界. 从而 $T$ 是连续的.
2.5.19
设 $H$ 是 Hilbert 空间, 求证: 在 $H$ 中 $x_n\to x(n\to\infty)$ 的充要条件是
- ((1)) $\Vert x_n \Vert\to\Vert x \Vert\ (n\to\infty)$;
- ((2)) $x_n\rightharpoonup x\ (n\to\infty)$.
📝证明
"
$\Rightarrow$:" (1) 显然, (2) 有
$|f(x_n-x)|\leqslant \Vert f \Vert\cdot\Vert x_n-x \Vert\to 0$.
"$\Leftarrow$:" $\Vert x_n-x \Vert^2=(x_n-x,x_n-x)=(x_n,x_n)+(x,x)-2\text{Re}(x_n,x)$. 其中由 (1) $(x_n,x_n)=\Vert x_n \Vert^2\to\Vert x \Vert^2$.
由 Riesz 表示定理, 存在 $f\in H^*$ 满足 $f(y)=(y,x)\forall y\in H$. 从而 $f(x_n)=(x_n,x)$, 再由 (2) 得到 $f(x_n)\to f(x)$. 故 $(x_n,x)\to (x,x)=\Vert x \Vert^2$. 从而 $\Vert x_n-x \Vert^2\to 0$. 即 $x_n\to x$.
2.5.22
设 $\mathscr X$ 是自反的 $B$ 空间, $M$ 是 $\mathscr X$ 中的有界闭凸子集, $\forall f\in\mathscr X^*$, 求证: $f$ 在 $M$ 上达到最大值和最小值.
📝证明
对于最大值
$\sup\limits_{x\in M}f(x)$, 根据上确界的定义, 存在
$\lbrace x_n\rbrace \subset M$, 满足
$f(x_n)\to f(x_0)$. 由
$X$ 是自反空间
$M$ 有界, 从而 $\lbrace x_n\rbrace $ 是自反空间中的有界列, 从而有弱收敛子列记作 $\lbrace x_{n_k}\rbrace $. 再根据
$M$ 是闭凸子集, 由 Mazur 定理知
$M$ 是弱闭集, 从而
$x_{n_k}\rightharpoonup x'\in M$, 又弱收敛的唯一性及
$f(x_{n_k})\to f(x_0)$, 得到
$x'=x_0$. 即
$x_0\in M$. 从而能取到最大值.
最小值同理, 考虑 $-f$ 即可.
2.5.23
设 $\mathscr X$ 是自反的 $B$ 空间, $M$ 是 $\mathscr X$ 中的非空闭凸子集, 求证: $\exists x_0\in M$, 使得 $\Vert x_0 \Vert=\inf\lbrace\Vert x \Vert|x\in M\rbrace$.
📝证明
由下确界的定义, 存在 $\lbrace x_n\rbrace $ 满足
$\Vert x_n \Vert\to \inf\lbrace \Vert x \Vert|x\in M\rbrace \triangleq V$. 由极限定义知存在
$N$ 满足
$n>N$ 时
$|\Vert x_n \Vert-V|<1$ 从而 $\lbrace x_n\rbrace $ 有界.
其余过程同上题.