2.4.4
设 $\mathscr X$ 是 $B^*$ 空间, $\lbrace x_n\rbrace $ 是 $\mathscr X$ 中的点列. 如果 $\forall f\in \mathscr X^*$, 数列 $\lbrace f(x_n)\rbrace $ 有界, 求证: $\lbrace x_n\rbrace $ 在 $\mathscr X$ 内有界.
由 $\forall f$ $\lbrace f(x_n)\rbrace $ 有界, 即对于 $\lbrace J_{x_n}\rbrace $ 来说点点有界, 那么根据一致有界定理知存在 $M$, 满足 $\norm{J_{x_n}}\leqslant M$. 又 $\Vert x_n \Vert=\norm{J_{x_n}}$. 从而 $\lbrace x_n\rbrace $ 有界.
证明
2.4.6
设 $\mathscr{X}$ 是 $B^{*}$ 空间. 给定 $\mathscr{X}$ 中 $n$ 个线性无关的元素
$x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ 与数域 $\mathbb{K}$ 中的 $n$ 个数 $C_{1},C_{2},\dots,C_{n}$, 及 $M>0$.
求证: 为了 $\exists\, f\in \mathscr{X}^{*}$ 适合 $f(x_{k})=C_{k}$（$k=1,2,\dots,n$）, 以及 $\|f\|\le M$, 必须且仅必须对任意的 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{K}$ 有
从而 $\Leftarrow$: 设 $Y=\text{span}\lbrace x_1,\ldots,x_n\rbrace $, 由于 $\lbrace x_k\rbrace $ 线性无关, 所以 $Y$ 中元素可表示为 $\sum\limits_{k}\alpha_k x_k$. 再设 $g(\sum\limits_{k}\alpha_k x_k)=\sum\limits_{k}\alpha_k C_k$, 显然是 $Y$ 上的线性泛函, 且由条件受 $M\norm{\sum\limits_{k}\alpha_kx_k}$ 控制, 那么由 Hahn-Banach 定理可以将 $g(x)$ 延拓到 $X$ 上. 且满足 $f(x)=g(x), x\in Y$, $|f(x)|\leqslant M\Vert x \Vert$.证明
2.4.7
给定 $B^*$ 空间 $\mathscr X$ 中 $n$ 个线性无关的元素 $x_1,x_2,\cdots,x_n$, 求证: $\exists f_1,f_2,\cdots,f_n\in \mathscr X^*$, 使得
显然 $g_i$ 是 $Y$ 上的连续泛函, 从而有界. 那么根据上题结论知, 可以延拓到 $X$ 上且满足 $g_i(x_j)=\delta_{ij}$.
证明
2.4.12
设 $C$ 是实 $B^{*}$ 空间 $\mathscr{X}$ 中的一个凸集, 并设 $x_{0}\in \overset{\circ}{C}$,
$x_{1}\in \partial C$, $x_{2}=m(x_{1}-x_{0})+x_{0}$ (m>1). 求证: $x_{2}\notin C$.
由 $x_1=\frac{1}{m}x_2+(1-\frac1m) x_0$. 取 $\Vert u \Vert<(1-\frac1m)r$. 从而 $x_0+\frac{u}{1-1/m}\in C$. 则 $x_1+u=\frac1m x_2+(1-\frac1m)(x_0+u/(1-\frac 1m))\in C$. 从而 $B(x_1,(1-\frac 1m)r)\subset C$. 即 $x_1\in\overset{\circ}{C}$ 与 $x_1\in\partial C$ 矛盾.证明
2.4.13
设 $M$ 是 $B^{*}$ 空间 $\mathscr{X}$ 中的闭凸集, 求证: $\forall x\in \mathscr{X}\setminus M$,
必 $\exists\, f_{1}\in \mathscr{X}^{*}$, 满足 $\|f_{1}\| = 1$, 并且
其中
证明