2.1.4
设 $y(t)\in C[0,1]$, 定义 $C[0,1]$ 上的泛函
$$
f(x)=\int_0^1 x(t)y(t)\text{d} t\quad (\forall x\in C[0,1]),
$$
求 $\Vert f \Vert$.
📝答案
$\Vert f \Vert=\sup\limits_{x}\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}$.
对于
$$
\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}=\left|\int_0^1 \dfrac{x(t)}{\max\limits_k x(k)}y(t)\text{d} t\right|\leqslant \int_0^1|y(t)|\text{d} t\overset{\Delta}{=}M
$$
如果不要求 $x(t)\in C[0,1]$, 我们只要取 $x_0(t)=\frac{y(t)}{|y(t)|}$ 即可得到上界 $M$. 根据实变函数中的结论, 对任意 $\varepsilon>0$, 存在连续函数 $g$ 使得 $\displaystyle\int_{0}^{1} |g(t)-x_0(t)|\text{d} t<\varepsilon/\Vert y \Vert$, 从而
$$
\left|\int_0^1 g(t)y(t)\text{d} t-M\right|<\left|\int_0^1|g(t)-x_0(t)|y(t)\text{d} t\right|\leqslant\Vert y \Vert\int_0^1 |g(t)-x_0(t)|\text{d} t<\varepsilon.
$$
从而说明存在一列 $x_n(t)$ 使得 $\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}\to M$, 从而 $M=\displaystyle\int_{0}^{1} |y(t)|\text{d} t$ 就是上确界 $\Vert f \Vert$.
2.1.5
设 $f$ 是 $\mathscr X$ 上的非零有界线性泛函, 令
$$
d=\inf\lbrace \Vert x \Vert|f(x)=1,x\in\mathscr X\rbrace ,
$$
求证 $\Vert f \Vert=1/d$.
📝证明
$\forall x\in\mathscr X-\lbrace 0\rbrace $, 取
$\alpha=\dfrac{1}{f(x)}$, 那么
$\alpha x$ 就满足
$f(\alpha x)=\alpha f(x)=1$, 从而
$\Vert \alpha x \Vert\geqslant d$, 即
$\dfrac{\Vert x \Vert}{\Vert f(x) \Vert}\geqslant d$.
所以 $d=\inf\left\lbrace\dfrac{\Vert x \Vert}{\Vert f(x) \Vert}|x\in \mathscr X\right\rbrace$, 故 $\dfrac{1}{d}=\sup\left\lbrace\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}|x\in\mathscr X\right\rbrace$, 即 $\Vert f \Vert=\dfrac{1}{d}$.
2.1.7
设 $T:\mathscr X\to\mathscr Y$ 是线性的, 令
$$
N(T)\overset{\Delta}{=}\lbrace x\in\mathscr X|Tx=0\rbrace .
$$
- ((1)) 若 $T\in \mathscr L(\mathscr X,\mathscr Y)$, 求证: $N(T)$ 是 $\mathscr X$ 的闭线性子空间.
- ((2)) 问 $N(T)$ 是 $\mathscr X$ 的闭线性子空间能否推出 $T\in\mathscr L(\mathscr X,\mathscr Y)$?
- ((3)) 若 $f$ 是线性泛函, 求证
$$
f\in\mathscr X^*\Leftrightarrow N(f)\ \text{是闭线性子空间}.
$$
📝证明
- ((1)) 线性性: $\forall x,y\in N(T),\alpha,\beta\in \mathbb{K}$, 有 $T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)=0$, 从而 $\alpha x+\beta y\in N(T)$.
闭性: 由 $T$ 有界, 从而连续, 又 $\lbrace 0\rbrace $ 是 $\mathscr Y$ 中的闭集, 所以 $T^{-1}(\lbrace 0\rbrace )$ 是闭集.
故 $N(T)$ 是闭线性子空间.
- ((2)) 任取一个无界的线性泛函 $T_0:\mathscr X\to\mathscr Y$, 设 $T:\mathscr X\to\mathscr X\times \mathscr Y, T(x)=(x,T_0(x))$. 取范数 $\Vert T(x) \Vert=\Vert x \Vert+\Vert T_0(x) \Vert$ 不难验证满足范数定义. 而 $N(T)=\lbrace 0\rbrace $, 因为第一维 $x$ 的限制. 又 $T_0$ 无界, 设 $D\subset\mathscr X$ 使得 $T_0(D)$ 无界, 那么 $T(D)$ 也是无界的, 因为 $\Vert T(x) \Vert\geqslant \Vert T_0(x) \Vert$.
- ((3))
$\Rightarrow$: 这部分由 (1) 可知.
$\Leftarrow$: 反设 $f$ 无界, 则 $\forall n\in \Z_+$ 存在 $x_n\in\mathscr X$, 使得
$$
\Vert x_n \Vert<\frac 1n,\ \text{且} f(x_n)=1.
$$
于是 $\lbrace x_n-x_1\rbrace \subset N(f)$ 且 $\Vert (x_n-x_1)-(-x_1) \Vert\to 0$. 但 $f(-x_1)=-1$, 即 $-x_1\notin N(f)$ 这与 $N(f)$ 是闭的矛盾.
2.1.8
设 $f$ 是 $\mathscr X$ 上的线性泛函, 记 $H_f^\lambda\overset{\Delta}{=}\lbrace x\in\mathscr X|f(x)=\lambda\rbrace \quad (\forall \lambda\in \mathbb K).$ 如果 $f\in\mathscr X^*$, 并且 $\Vert f \Vert=1$, 求证:
- ((1)) $|f(x)|=\inf\lbrace \Vert x-z \Vert|\forall z\in H_f^0\rbrace \quad(\forall x\in\mathscr X)$;
- ((2)) $\forall\lambda\in\mathbb K$, $H_f^\lambda$ 上的任一点 $x$ 到 $H_f^0$ 的距离都等于 $|\lambda|$. 并对 $\mathscr X=\mathbb{R}^2,\mathbb K=\mathbb{R}$ 情形解释 (1) 和 (2) 的几何意义.
📝证明
- ((1)) 我们考虑 $A=\lbrace x-z: z\in H_f^0\rbrace $ 究竟是什么集合. 我们记 $M=|f(x)|$, 首先 $|f(x-z)|=|f(x)-0|=M$, 所以 $A\subset H_f^M$, 此外 $\forall y\in H_f^M$, 我们有 $x-y\in H_f^0$, 所以 $x-(x-y)=y\in A$, 即 $A=H_f^M$.
因此我们只需证 $|f(x)|=\inf\lbrace \Vert x \Vert: x\in H_f^{|f(x)|}\rbrace $.
一方面由 $\Vert f \Vert=1$, $\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}\leqslant 1$, $\forall x\in\mathscr X$. 所以 $\Vert f(x) \Vert\leqslant\Vert x \Vert$. 即 $\Vert f(x) \Vert$ 是下界.
另一方面, 根据上确界的定义, 存在一列 $\lbrace x_n\rbrace $ 满足 $\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}\to 1$, 那么取 $y_n=\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert f(x_n) \Vert}x_n$, 那么 $\dfrac{\Vert f(y_n) \Vert}{\Vert y_n \Vert}=\dfrac{\Vert f(x_n) \Vert}{\Vert x_n \Vert}\to 1$, 且 $\Vert f(y_n) \Vert=\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert f(x_n) \Vert}\Vert f(x_n) \Vert=\Vert f(x) \Vert$. 于是 $y_n\in H_f^M$ 且 $\Vert f(y_n) \Vert\to \Vert f(x) \Vert$. 即 $\Vert f(x) \Vert$ 就是下确界.
综上 $\Vert f(x) \Vert=\inf\lbrace \Vert x-z \Vert|\forall z\in H_f^0\rbrace $.
- ((2)) $\rho(x,H_f^0)=\inf\lbrace \Vert x-z \Vert|\forall z\in H_f^0\rbrace =|f(x)|=|\lambda|$.
对 $x=(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$, 设 $f((1,0))=e_1,f((0,1))=e_2$, 则 $f(x)=f(\alpha(1,0)+\beta(0,1))=\alpha e_1+\beta e_2$, 所以 $H_f^\lambda=\lbrace (\alpha,\beta)|\alpha e_1+\beta e_2=\lambda\rbrace $ 就是一条直线. 所以 (1) 和 (2) 指的就是点线和线线的距离.
2.1.9
设 $\mathscr X$ 是实 $B^*$ 空间, $f$ 是 $\mathscr X$ 上的非零实值线性泛函. 求证: 不存在开球 $B(x_0,\delta)$, 使得 $f(x_0)$ 是 $f(x)$ 在 $B(x_0,\delta)$ 中的极大值或极小值.
📝证明
反设存在
$B(x_0,\delta)$, 使得
$f(x_0)$ 是极大值.
那么 $f(x)\leqslant f(x_0)$ 即 $f(x-x_0)\leqslant 0$. 所以 $f(x)\leqslant 0,\forall x\in B(0,\delta)$. 根据线性性, 可以依次推出在整个定义域上都有 $f(x)\leqslant 0$, 因为可以反复取 $f(x)=2f(x/2)$ 直到 $\Vert x/2^k \Vert<\delta$.
从而必须有 $f(x)=0$, 否则若 $f(x)<0$, 则 $f(-x)>0$ 矛盾.
故假设矛盾.
极小值同理, 可以推出在整个定义域上非负从而恒为 0.