251027

1.6.1

设 $a$ 是复线性空间 $\mathscr X$ 上的共轭双线性函数, $q$ 是由 $a$ 诱导的二次型, 求证: $\forall x,y\in \mathscr X$ 有

$$ a(x,y)=\frac14\left[q(x+y)-q(x-y)+\text{i} q(x+\text{i} y)-\text{i} q(x-\text{i} y)\right]. $$

证明

逐项打开化简即可.

1.6.6

在 $L^2[-1,1]$ 中, 问偶函数集的正交补是什么并证明.

证明

奇函数.

首先证明奇函数全体属于偶函数的正交补.

设 $A$ 为偶函数全体, $B$ 为奇函数全体.

则 $\forall f\in A,g\in B$. $fg$ 仍为奇函数从而 $(f,g)=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\text{d} x=0$.

即 $A\perp B$.

另一方面, 由于任意函数均可由奇函数和偶函数线性表出. 如对函数 $h(x)$ 取 $f(x)=\frac{h(x)+h(-x)}{2}\in A, g(x)=\frac{h(x)-h(-x)}{2}\in B$ 则有 $h(x)=f(x)+g(x)$. 从而 $A\oplus B=L^2[-1,1]$. 又 $L^2[-1,1]=\overline{A}\oplus A^\perp$ 显然有 $B=A^\perp$.

1.6.9

设 $\lbrace e_n\rbrace _{n=1}^\infty$, $\lbrace f_n\rbrace _{n=1}^\infty$ 是 Hilbert 空间 $\mathscr X$ 中的两个标准正交集, 满足条件

$$ \sum\limits_{n=1}^\infty \Vert e_n-f_n \Vert^2<1. $$

求证: $\lbrace e_n\rbrace $ 和 $\lbrace f_n\rbrace $ 两者中一个完全蕴含另一个完全.

证明

不妨设 $\lbrace e_n\rbrace $ 完全.

1.6.14

求 $(a_0,a_1,a_2)\in\mathbb{R}^3$, 使得 $\displaystyle\int_{0}^{1} |e^t-a_0-a_1t-a_2t^2|^2\text{d} t$ 取最小值.

1.6.15

设 $f(x)\in C^2[a,b]$, 满足边界条件

$$ f(a)=f(b)=0,\quad f'(a)=1,\quad f'(b)=0. $$

求证:

$$ \int_a^b|f''(x)|^2\text{d} x\geqslant \frac{4}{b-a}. $$