4.1 依测度收敛与平均收敛

设 $g(x)$ 是定义在 $[0,+\infty)$ 上的非降的非负值函数, 如果对随机变量 $Y$, 有 $\mathrm{E} g(|Y|)<+\infty$, 则对任何使得 $g(a)>0$ 的 $a>0$, 都有 $$ \mathrm P (|Y|\geqslant a)\leqslant \frac{\mathrm Eg(|Y|)}{g(a)}. $$

特别的, 选取 $g(x)=x^2$, 可以得到 $$ \mathrm P (|Y-\mathrm E Y|\geqslant x)\leqslant\frac{\var Y}{x^2},\quad \forall x>0. $$