条件概率
定义 2.2.1 条件概率
我们可以将条件概率推广到多个事件.
定理 2.2.2 概率的乘法定理
定义 2.2.3
定理 2.2.4 全概率公式
定理 2.2.5 贝叶斯 (\t{Bayes}) 公式
例 2.2.6 \t{Polya} 罐子模型
2.2 条件概率
设 $(\Omega,\mathscr{F},\tP)$ 为概率空间, $A,B\in\mathscr{F}$, 其中 $\tP(A)>0$, 则称
$$
\tP(B|A)=\dfrac{\tP(AB)}{\tP(A)}
$$
为在 $A$ 发生条件下 $B$ 发生的概率.
设 $(\Omega,\mathscr{F},\tP)$ 为概率空间, $\{A_k,\ k=1,2,\cdots,n\}\subset \mathscr{F}$. 如果 $\tP\left(\bigcap\limits_{k=1}^n A_k\right)>0$, 则有
$$
\tP\left(\bigcap\limits_{k=1}^n A_k\right)=\tP(A_1)\tP(A_2|A_1)\tP(A_3|A_1A_2)\cdots\tP(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1}).
$$
设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\tP)$ 中的一组事件, 如果满足它们两两不交且 $\bigcup\limits_{k=1}^n A_k=\Omega$, 则称这是 $\Omega$ 的一个分划.
设概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\tP)$ 中 $A_1,A_2\cdots,A_n$ 是 $\Omega$ 的一个分划, 如果 $\tP(A_k)>0,\ k=1,2,\ldots,n$ 则对任意的 $B\in\mathscr{F}$ 有
$$
\tP(B)=\sum\limits_{k=1}^n\tP(A_kB)=\sum\limits_{i=1}^n\tP(A_k)\tP(B|A_k).
$$
设 $(\Omega,\mathscr{F},\tP)$ 为概率空间, $\{A_1,A_2,\cdots,A_n\}$ 是对 $\Omega$ 的一个分划, 如果 $\tP(A_k)>0,\ k=1,2,\cdots,n$, 则对任何 $B\in\mathscr{F}$, 只要 $\tP(B)>0$, 就有
$$
\tP(A_k|B)=\dfrac{\tP(A_k)\tP(B|A_k)}{\sum\limits_{j=1}^n\tP(A_j)\tP(B|A_j)},\quad k=1,2,\cdots,n.
$$
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