往年期末

2024fly

一 (填空题 30分)

1

$X_1, \dots, X_n \stackrel{i.i.d}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$, $\mu, \sigma^2$ 未知. 写出一个完备统计量\underline{\hspace{2cm}}, 一个枢轴量\underline{\hspace{2cm}}.

2

$X_1, \dots, X_n \stackrel{i.i.d}{\sim} P(\lambda)$, $\lambda > 0$. $\overline{X}=\dfrac 1 n \sum\limits_{i=1}^n X_i, S_n^2 = \dfrac 1 {n-1} \sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2$. 若 $\bar{X}^2 - k S_n^2$ 是 $\lambda^2$ 的无偏估计, 则 $k=$ \underline{\hspace{2cm}}.

3

$X_1, \dots, X_n \stackrel{i.i.d}{\sim} N(0, \sigma^2)$, 当 $C=$ \underline{\hspace{2cm}} 时, $\dfrac{C X_1^2}{(X_2+X_3)^2+(X_4-X_5)^2} \sim F(1, 2)$.

4

$X_1, \dots, X_n \stackrel{i.i.d}{\sim} U(0, \theta)$. 检验 $H_0: \theta \leqslant 2$ vs $H_1: \theta > 2$ 的拒绝域 $C = \{ X_{(n)} > 2.5 \}$. $X_{(n)}$ 为样本最大值, 则检验的势函数为 \underline{\hspace{2cm}}.

5

$X_1, \dots, X_n \stackrel{i.i.d}{\sim} f(x, \lambda) = \dfrac 1 \lambda e^{-\frac x \lambda}$, $x > 0, \lambda > 0$. 参数 $\lambda$ 的矩估计为\underline{\hspace{2cm}}, Pitman 估计为\underline{\hspace{2cm}}.

6

$X \sim t(n)$, $Y=\dfrac 1 {X^2}$, 则 $Y$ 服从 \underline{\hspace{2cm}} 分布.

7

在 $n$ 只豚鼠后代中, 有 $n_1$ 只红色, $n_2$ 只黑色, $n_3$ 只白色. 三种颜色的后代数量比率为 $9:3:4$. 在 $0.05$ 检验水平下, 检验数据是否符合遗传基因模型, 提出原假设为\underline{\hspace{2cm}}, 构造检验统计量为\underline{\hspace{2cm}}, 拒绝域为\underline{\hspace{2cm}}.

二

$X_1, \dots, X_n \stackrel{i.i.d}{\sim} f(x, \theta) = \dfrac{x^2}{2\theta^3} e^{-\frac x \theta}$, $x > 0, \theta > 0$. - (1) 求 $\theta$ 的矩估计, 判断是否相合. - (2) 求 $\theta$ 的 MLE (最大似然估计). - (3) 求 $\theta^2$ 的无偏估计方差的 $C-R$ 不等式下界 (Cramér-Rao lower bound). - (4) 求 $\theta^2$ 的 UMVUE (一致最小方差无偏估计).

三

简答题 - (1) 简述什么是损失函数. 并构造一个损失函数. - (2) 已知损失函数如何求 Minimax 估计. - (3) 讲过的参数估计有哪些, 并给出优缺点.

四

$X_1, \dots, X_n \stackrel{i.i.d}{\sim} f(x, \theta) = \frac{2x}{\theta^2}, 0 < x < \theta$. - (1) 若 $\theta$ 的先验为 $U(0, 1)$, 求 $\theta$ 的后验分布. - (2) 损失函数 $l(t, \theta) = \frac{(t-\theta)^2}{\theta^2}$, 求 $\theta$ 的 Bayes 估计.

五

$X_1, \dots, X_n \stackrel{i.i.d}{\sim} f(x; \theta) = (\theta+1)x^\theta, 0 < x < 1, \theta > -1$. - (1) $H_0: \theta=1$ vs $H_1: \theta =0$ 的水平为 $\alpha$ 的 MPT. - (2) $H_0: \theta \leqslant 0$ vs $H_1: \theta > 0$ 的水平为 $\alpha$ 的 UMPT. - (3) $H_0: \theta=0$ vs $H_1: \theta \neq 0$ 的水平为 $\alpha$ 的广义似然比检验.

六

给出来自两个正态分布 $N(\mu_1,\sigma_1^2),\ N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 的两组样本. - (1) 求 $\dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ 的置信水平为 $0.95$ 的置信区间. - (2) $H_0: \mu_1=\mu_2\ vs \ H_1:\mu_1<\mu_2$.