样本方差与标准差
📝定义 3.3.1
设
$X_1,X_2,\cdots,X_n$ 为取自某个总体的样, 则它关于样本均值
$\overline{x}_n$ 的平均偏差平方和
\begin{equation}
s_n^2=\dfrac 1 n\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x}_n)^2
\end{equation}
称为
样本方差. 其算数根
$s_n=\sqrt{s_n^2}$ 为
样本标准差.
在 $n$ 不大时, 常用
\begin{equation}
s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x}_n)^2
\end{equation}
作为样本方差, 也称无偏方差. 实际中 $s^2$ 也更常用, 以后讲样本方差通常是指 $s^2(s_n^2)$.
💡定理 3.3.2
设
$E(x)=\mu,\var(X)=\sigma^2<\infty$, 则样本方差
$s_n^2$ 满足.
$$
E(s_n^2)=\sigma^2,\quad\var(s_n^2)=.
$$
样本矩及其函数
📝定义 3.3.3
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是样本, $r$ 为正整数. 统计量
\begin{equation}
M_r'=\dfrac 1 n\sum\limits_{i=1}^n X_i^r
\end{equation}
称为样本 $r$ 阶原点矩.
\begin{equation}
M_r=\dfrac 1 n\sum\limits_{i=1}^n (X_i^r-\overline{x}_n)
\end{equation}
称为样本 $r$ 阶中心矩.
💡定理 3.3.4
$E(M_r')=\mu_r',\quad,\var(M_r')=\dfrac 1 n\left[\mu_{2r}'-(\mu_r')^2\right]$
📝定义 3.3.5 样本变异系数
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的随机样本, $\overline{X}_n$ 是样本均值且不为 $0$, $S_n$ 是样本标准差, 则称统计量
$$
\hat{v}=\dfrac{S_n}{\overline{X}_n}
$$
为样本变异系数.
📝定义 3.3.6
称统计量 $\hat{\gamma}=\dfrac{M_3}{M_2^{\frac 3 2}}=\dfrac{\sqrt{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^3}{\left(\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^2\right)^{\frac 3 2}},$ 为样本偏度.
📝定义 3.3.7
称统计量 $\hat{\nu}=\dfrac{M_4}{(M_2)^2}-3$, 为样本峰度.
次序统计量及其分布
令 $Y_1\leqslant Y_2\leqslant\cdots\leqslant Y_n$ 表示来自总体 \t{pdf} $f(\cdot)$ 的随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 的次序统计量.
样本极差: $Y_n-Y_1$.
中列数/中矩: $\dfrac{Y_1+Y_n}{2}$.