定积分

定义

设函数 $f(x)$ 在有界闭区间 $[a,b]$ 有定义. 若存在实数 $I$ 使得对任意的 $\varepsilon>0$，均存在 $\delta>0$，其对满足 $\max\limits_{i}\Delta x_i <\delta$ 的任意分点 $$ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b $$ 及任意的 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ 均有 $$ \left|\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i - I\right|<\varepsilon $$

那么就称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。

并称 $\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ 为黎曼和。

定积分存在的条件

达布和

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 中插入分点 $$ \alpha : a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b, $$ 并对 $1 \le i \le n$ 记 $$ M_i=\sup\limits_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x), \quad m_i=\inf\limits_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x). $$ 再考虑和式 $$ \overline{S}(\alpha)=\sum\limits_{i=1}^n M_i \Delta x_i, \quad \underline{S}(\alpha)=\sum\limits_{i=1}^n m_i \Delta x_i. $$ 其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。 我们称 $\overline{S}(\alpha)$ 为达布上和，其余同理。

达布上下积分

由 $\underline{S}(\alpha)\le \underline{S}(\alpha \cup \beta) \le \overline{S}(\alpha \cup \beta) \le \overline{S}(\beta)$ 知集合 $\{\overline{S}(\alpha)\}$ 有下界，从而有下确界，我们记 $$ \overline{\int_a^b} f(x)\text{d} x = \inf\limits_{\alpha} \overline{S}(\alpha), $$ 并称之为达布上积分，同理我们称 $$ \underline{\int_a^b} f(x)\text{d} x = \sup\limits_{\alpha} \underline{S}(\alpha), $$ 为达布下积分。

达布定理

[leftmargin=1cm,itemindent=1cm] - (1) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，则对任意的 $\varepsilon>0$，均存在 $\delta>0$，使得对于满足 $\max\limits_{i} \Delta x_i < \delta$ 的任意分点 $$ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b $$ 均有 $\left|\overline{S}(\alpha)-\overline{\int_a^b} f(x) \text{d} x\right|<\varepsilon, \quad \left|\underline{S}(\alpha)-\underline{\int_a^b} f(x) \text{d} x\right|<\varepsilon$ - (2) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积的充要条件是 $$ \overline{\int_a^b} f(x) \text{d} x= \underline{\int_a^b} f(x) \text{d} x $$ 并且当 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积时有 $$ \int_a^b f(x) \text{d} x=\overline{\int_a^b} f(x) \text{d} x= \underline{\int_a^b} f(x) \text{d} x $$

振幅

$\omega_i=M_i-m_i$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的振幅，那么 $$ \overline{S}(\alpha)-\underline{S}(\alpha)=\sum\limits_{i=1}^n \omega_i\Delta x_i $$

黎曼定理

在 $[a,b]$ 上有界的函数 $f(x)$ 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积的充要条件是：对任意的 $\varepsilon>0$，均存在 $\delta>0$使得对于满足 $\max\limits_{i} \Delta x_i<\delta$ 的任意一组分点 $$ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b $$ 均有 $$ \sum\limits_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i < \varepsilon $$

上述定理可以弱化成，黎曼可积的充要条件为，对任意的 $\varepsilon>0$ 存在一组分点 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ 使得 $$ \sum\limits_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i < \varepsilon $$

勒贝格定理

零测集

设 $A\subset \mathbb{R}$，若对任意的 $\varepsilon>0$，均存在至多可数个开区间 $I_n$ 使得 $$ A\subset \bigcup\limits_{n} I_n \quad \text{且} \quad \sum\limits_{n} |I_n| <\varepsilon $$ 那么就称 $A$ 是勒贝格零测集，其中 $|I_n|$ 表示区间 $I_n$ 的长度。

定理

设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积的充要条件是 $f(x)$ 在该区间上的全部间断点构成勒贝格零测集。

我们记 $D_f$ 表示 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的全体间断点所成之集。

性质

微积分学基本定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，并对任意的 $x \in [a,b]$ 记 $$ F(x)=\int_a^x f(t) \text{d}t $$ 那么

[leftmargin=1cm,itemindent=1cm] - (1) $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 - (2) 设 $x_0\in [a,b]$ 且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则 $F(x)$ 在 $x_0$ 处可导且 $F'(x_0)=f(x_0)$

积分第一中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积且不变号，则存在 $\xi\in [a,b]$ 使得， $$ \int_a^b f(x)g(x)\ \text{d} x = f(\xi)\int_a^b g(x)\ \text{d} x $$

积分第二中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积， $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调且非负，

[leftmargin=1cm, itemindent=1cm] - (1) 若 $g(x)$ 单调递减，则存在 $\xi \in [a,b]$ 使得， $$ \int_a^b f(x)g(x) \text{d}x = g(a)\int_a^{\xi} f(x) \text{d} x $$ - (2) 若 $g(x)$ 单调递增，则存在 $\xi \in [a,b]$ 使得， $$ \int_a^b f(x)g(x) \text{d} x = g(b) \int_{\xi}^b f(x) \text{d} x $$

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调，则存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $$ \int_a^b f(x)g(x)\text{d} x = g(a)\int_a^{\xi}f(x) \text{d} x + g(b) \int_{\xi}^b f(x)\text{d} x $$