多元函数的微分
微分的定义
📝定义 1 可微
设 $E \subseteq \set R m$, $f:E \to \set R m$. 又设 $\bm a$ 是 $E$ 的一个内点. 若存在线性映射 $L:\set R n \to \set R m$ 使得
$$
\lim\limits_{\bm h \to 0} \dfrac{f(\bm a+\bm h)-f(\bm a)-L\bm h}{|\bm h|}=\bm 0,
$$
则称 $f$ 在 $\bm a$ 处可微. 若 $f$ 在 $E$ 中每个点处均可微, 我们就称 $f$ 在 $E$ 上可微.
方向导数与偏导数
📝定义 2 方向导数
设 $E \subseteq \set R n$, $f:E\to \set Rm$, 且 $\bm a$ 是 $E$ 的一个内点. 对 $\set Rn$ 中给定的非零向量 $\bm u$, 若极限
$$
\lim\limits_{t\to0} \dfrac{f(\bm a+t\bm u)-f(\bm a)}{t}
$$
存在, 我们就称 $f$ 在 $\bm a$ 处沿方向 $\bm u$ 是可微的, 并将上述极限称为 $f$ 在 $\bm a$ 处沿方向 $\bm u$ 的方向导数, 记作 $\dfrac{\partial f}{\partial\bm u}(\bm a)$.
💡命题 3
设 $E\subseteq \set Rn$, $f:E\to \set Rm$, 且 $\bm a$ 是 $E$ 的一个内点. 若 $f$ 在 $\bm a$ 处可微, 则 $f$ 在 $\bm a$ 处的所有方向导数均存在, 并且对于 $\set Rn$ 中的任意非零向量 $\bm u$ 有
$$
\dfrac{\partial f}{\partial \bm u}(\bm a)=f'(\bm a)\bm u.
$$
📝定义 4 雅可比矩阵
\begin{equation}
f'(\bm a)=
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(\bm a) & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}(\bm a) & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(\bm a)\
$$
4mm]
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}(\bm a) & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}(\bm a) & \cdots & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_n}(\bm a)\
$$
4mm]
\vdots & \vdots & & \vdots \
$$
4mm]
\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}(\bm a) & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_2}(\bm a) & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(\bm a)\
\end{bmatrix}
\end{equation}
📝定义 5 偏导数的链式法则
如果
$f(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ 是一个
$m$ 元可微函数, 并且每个
$x_j$ 均是
$n$ 元可微函数
$x_j(t_1,t_2\ldots,t_n)$, 那么我们也可以把
$f$ 看作变量
$t_1,t_2,\ldots,t_n$ 的函数, 于是由\hr{链式法则}及 (\ref{雅可比矩阵形式}) 知
因此对 $1\leqslant j\leqslant n$ 有
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial t_j} = \sum\limits_{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_i}\cdot\frac{\partial x_i}{\partial t_j}.
\end{equation}
这一公式也被称作偏导数的链式法则.
📝定义 6 中值定理
1
有限增量定理与泰勒公式
📝定义 7 范数
设 $L \in \mathcal{L}(\set R n,\set R m)$, 定义 $L$ 的范数 $\|L\|$ 为
$$
|L|=\sup\limits_{|\bm h |=1}|L\bm h|.
$$
并且我们有 $|L\bm x|\le \|L\|\cdot |\bm x|, \qquad \forall \bm x \in \set R n$.
💡定理 8 有限增量定理
设 $E$ 是 $\set R n$ 中的凸开集, $f:E\to \set R m$ 在 $E$ 上可微, 且存在 $M>0$ 使得对任意的 $\bm x \in E$ 均有 $\|f'(\bm x)\| \le M$. 那么对任意的 $\bm a,\bm b \in E$ 有
$$
|f(\bm b)-f(\bm a)|\leqslant M|\bm b-\bm a|.
$$
反函数定理
💡定理 9 反函数定理
设 $E$ 是 $\set R n$ 中的开集, $f:E \to \set R n$ 且 $f \in C^1(E)$. 又设 $\bm a \in E$. 若 $f'(\bm a)$ 非奇异, 那么必存在 $\bm a$ 的邻域 $U$ 使得 $V=f(U)$ 是 $\set R n$ 中的开集, 且 $f|_U:U\to V$ 是双射. 此外, $g$ 表示 $f|_U$ 的逆映射, 则 $g \in C^1(V)$, 并且对任意的 $\bm y \in V$ 有
$$
g'(\bm y)=f'(g(\bm y))^{-1}.
$$
换种说法, 如果有
[leftmargin=1.5cm]
- $E$ 是 $\set R n$ 中的开集.
- $f:E\to \set R n$ 且 $f \in C^1(E)$
- $\bm a \in E$, $f'(\bm a)$ 非奇异, 即 $\det f'(\bm a) \neq 0$
那么
[leftmargin=1.5cm]
- 存在 $\bm a$ 的邻域 $U$ 使得 $V=f(U)$ 是 $\set R n$ 中的开集
- $f|_U:U\to V$ 是双射.
- 若设 $g=f|_U^{-1}$ 则 $g\in C^1(E)$, 并且对任意的 $\bm y\in V$ 有
$$
g'(\bm y)=f'(g(\bm y))^{-1}.
$$
隐函数定理
💡定理 10 隐函数定理
设
$E$ 是
$\set R {n+m}$ 中的开集,
$f=(f_1,f_2,\ldots,f_m)^T:E\to \set R m$ 连续可微. 又设
$\bm a \in \set R n$ 及
$\bm b \in \set R m$, 使得
$(\bm a,\bm b) \in E$ 且
$f(\bm a, \bm b)=\bm 0$. 现将
$f$ 的雅可比矩阵写成如下分块矩阵
$$
\left[\dfrac{\partial f}{\partial \bm x}\quad \dfrac{\partial f}{\partial \bm y}\right]
$$
的形式, 其中
$$
\dfrac{\partial f}{\partial\bm x}=\left(\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)
{1\le i \le m, 1\le j \le n},\qquad \dfrac{\partial f}{\partial \bm y}=\left(\dfrac{\partial f_i}{\partial x.
$$
那么当
$$
\det \dfrac{\partial f}{\partial \bm y}(\bm a,\bm b)\neq0
$$
时, 存在 }}\right)_{1 \le i,j \le m
$\bm a$ 的邻域
$U$,
$\bm b$ 的邻域
$V$ 以及唯一的连续可微映射
$g:U\to V$, 使得
[leftmargin=1.5cm,itemindent=0cm]
- (1)
$g(\bm a)=\bm b$.
- (2) 对任意的
$\bm x \in U$ 有
$f(\bm x,g(\bm x))=\bm 0$.
- (3) 对任意的
$\bm x \in U$ 有
$\det \dfrac{\partial f}{\partial \bm y}(\bm x,g(\bm x))\neq 0$, 并且
$$
g'(\bm x)=-\left(\dfrac{\partial f}{\partial \bm y}(\bm x,g(\bm x))\right)^{-1}\dfrac{\partial f}{\partial \bm x}(\bm x,g(\bm x)).
$$
📝定义 11
在上述定理中, $y=g(\bm x)$