\fly 分析初步
\begin{definition}
设 $S$ 是一个非空集合, 我们用 $\mathbb{C}^S$ 表示从 $S$ 到 $\mathbb{C}$ 的全部映射所成之集, 也即定义在 $S$ 上的全体复值函数所成之集.
\end{definition}
对任意的 $f,g\in\mathbb{C}^S$ 以及 $\lambda\in \mathbb{C}$, 令
\begin{equation}
\begin{aligned}
(f+g)(x)=f(x)+g(x), \
(\lambda f)(x)=\lambda f(x),
\end{aligned}
\quad\forall x\in S.
\end{equation}
则在上述运算下 $\mathbb{C}^S$ 是 $\mathbb{C}$ 上的线性空间, 从而 $\mathbb{C}^S$ 有一个基.
\fly 级数定义
📝定义 1 复值函数积分
对于复值函数 $g(x)=u(x)+\t i v(x),\ u(x),v(x)\in \mathbb{R}[x]$. 若 $u(x),v(x)$ 均在 $[a,b]$ 上可积, 则定义
$$
\int_a^b g(x)\text{d} x=\int_a^b u(x)\text{d} x+\t i\int_a^b v(x)\text{d} x.
$$
不难验证, 按上述定义的复值函数积分, 也满足实值函数积分的运算法则, 如分部积分以及\hr{微积分学基本定理}.
📝定义 2
设 $\mathcal{l}$ 是一个正常数, 记 $e(t):=e^{2\pi \t i t}$, 我们称形如
\begin{equation}
\frac{a_0} 2+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{2\pi nx}{\mathcal l}+b_n\sin\frac{2\pi nx}{\mathcal l}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
\sum\limits_{n\in\Z} c_ne\left(\frac{nx}{\mathcal{l}}\right)
\end{equation}
的关于变量 $x$ 的函数项级数为三角级数 (\t{trigonometric series}), 其中 \eqref{三角级数1} 的级数收敛是指极限
$$
\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=-N}^N c_ne\left(\frac{nx}{\mathcal l}\right)
$$
存在. 我们称以上两个级数的部分和为三角多项式 (\t{trigonometic ploynomial}).
利用欧拉公式 $e^{\text{i}\theta}=\cos\theta+\text{i}\sin\theta$, 我们可以探究 \eqref{三角级数1} 和 \eqref{三角级数2} 之间的关系.
如果记 \begin{equation}
\begin{cases}
c_0 = \dfrac{a_0} 2,\
$$
10pt]
c_n = \dfrac{a_n-\text{i} b_n} 2,\ \ c_{-n} = \dfrac{a_n+\text{i} b_n} 2,\quad \forall n\geqslant 1.
\end{cases}
\end{equation}
那么就可以将 \eqref{三角级数1} 变为 \eqref{三角级数2} 的形式.
ℹ️注 3
$a_n,b_n\in\mathbb{R}\Leftrightarrow c_n=\overline{c_{-n}}$.
我们把在区间 $[a,b]$ 上黎曼可积, 或者在 $[a,b]$ 上有有限多个奇点但积分 $\mint[a]^b |f(x)|\text{d} x$ 收敛的全体实值函数所成之集记作 $\mathscr{R}[a,b]$.
📝定义 4
设
$\mathcal l$ 是一个正实数,
$f(x)$ 是定义在
$\mathbb{R}$ 上的以
$\mathcal l$ 为周期的函数, 并且
$f\in \mathscr{R}[0,\mathcal l]$.
我们记
\begin{equation}
a_n=\frac 2{\mathcal{l}} \int_0^{\mathcal l} f(x)\cos\frac{2\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x,\quad \forall n\geqslant 0.
\end{equation}
\begin{equation}
b_n=\frac 2{\mathcal{l}} \int_0^{\mathcal l} f(x)\sin\frac{2\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x,\quad \forall n\geqslant 0.
\end{equation}
\begin{equation}
c_n=\frac 1{\mathcal{l}} \int_0^{\mathcal l} f(x)e\left(-\frac{nx}{\mathcal l}\right)\text{d} x,\quad \forall n\geqslant 0.
\end{equation}
由上三式定义的\hr{三角级数}称作 $f(x)$ 的 \fly 级数 (\fly\t{series}) 或 \fly 展开式 (\fly\t{expansion}), 记作
\begin{equation}
f(x)\sim\frac{a_0} 2+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{2\pi nx}{\mathcal l}+b_n\sin\frac{2\pi nx}{\mathcal l}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
f(x)\sim\sum\limits_{n\in\Z} c_ne\left(\frac{nx}{\mathcal{l}}\right)
\end{equation}
称 $a_n,b_n,c_n$ 为 $f(x)$ 的 \fly 系数. 通常将 $c_n$ 记作 $\hat{f}(n)$.
ℹ️注 5
上述定义中采用 $\sim$ 的记号是因为目前我们并不知道 $f(x)$ 的 \fly 级数是否收敛于 $f(x)$.
📝定义 6
设
$f$ 是定义在
$(0,\mathcal l)$ 上的函数, 如果以
$2\mathcal l$ 为周期的函数
$g$ 满足 $
$g(x) = \begin{cases}
f(x),\quad x\in(0,\mathcal l) \\
f(-x),\quad x\in (-\mathcal l,0).
\end{cases}$$
则称
$g$ 为
$f$ 的
偶性延拓, 此时
$g$ 是
$(-\mathcal l,\mathcal l)\backslash\{0\}$ 上的偶函数.
如果以 $2\mathcal l$ 为周期的函数 $h$ 满足 $$h(x) = \begin{cases}
f(x),\quad x\in(0,\mathcal l) \\
-f(-x),\quad x\in (-\mathcal l,0).
\end{cases}$$
则称 $g$ 为 $f$ 的奇性延拓, 此时 $h$ 是 $(-\mathcal l,\mathcal l)\backslash\{0\}$ 上的奇函数.
为了方便, 我们将 $f$ 作偶性延拓/奇性延拓得到的函数仍记作 $f$.
📝定义 7
如果对
$f$ 做偶性延拓, 那么它的 \fly 级数中只含有余弦项, 称为
$f(x)$ 的
余弦级数, 记作
$$
f(x)\sim \frac{a_0} 2+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\cos\frac{\pi n x}{\mathcal l},
$$
其中 \begin{equation}
a_n=\frac 1 {\mathcal l}\int_{-\mathcal l}^{\mathcal l} f(x)\cos\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x=\frac 2 {\mathcal l}\int_0^{\mathcal l} f(x)\cos\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x.
\end{equation}
如果对 $f$ 做奇性延拓, 那么它的 \fly 级数中只含有正弦项, 称为 $f(x)$ 的正弦级数, 记作
$$
f(x)\sim \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{\pi n x}{\mathcal l},
$$
其中 \begin{equation}
b_n=\frac 1 {\mathcal l}\int_{-\mathcal l}^{\mathcal l} f(x)\sin\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x=\frac 2 {\mathcal l}\int_0^{\mathcal l} f(x)\sin\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x.
\end{equation}
局部化原理
💡引理 8 黎曼-勒贝格引理
设 $f\in\mathscr R[a,b]$(这里 $a$ 可以是 $+\infty$, $b$ 可以是 $+\infty$), 那么
$$
\lim\limits_{\lambda\to\infty}\int_a^b f(x)e(\lambda x)\text{d} x=0.
$$
特别地, $\lim\limits_{|n|\to\hat{f}(n)}=0$.
ℹ️注 9
由引理 \ref{黎曼勒贝格引理} 以及
$$
\cos\theta = \frac{e^{\text{i} \theta}+e^{-\text{i}\theta}},\qquad \sin\theta=\frac{e^{\text{i}\theta}-e^{-\text{i}\theta}}.
$$
我们可以推出 $$\begin{aligned}
\lim\limits_{\lambda\to\infty}\mint[a]^b f(x)\cos\lambda x\text{d} x=0,\
$$
10pt]
\lim\limits_{\lambda\to\infty}\mint[a]^b f(x)\sin\lambda x\text{d} x=0.
\end{aligned}$$
进而可以得到
$$
\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0.
$$
下面研究 $f(x)\in\mathscr R[0,1]$ 的 \fly 级数的收敛性问题. 而对于周期是一般的正实数的情形, 可以通过伸缩变换或者类似的讨论研究.
此时 \fly 级数为
$$
f(x)\sim\sum\limits_{n\in\Z}\hat f (n)e^(nx),
$$
其中 \begin{equation}
\hat f (n)=\int_0^1 f(t)e(-nt)\text{d} t.
\end{equation}
用
$$
S_N(x)=\sum\limits_{n=-N}^N \hat f(n)e(nx)
$$
表示该 \fly 级数的部分和, 那么将 \eqref{fhat} 代入可得 \begin{equation}
\begin{aligned}
S_N(x)&=&\sum\limits_{n=-N}^Ne(nx)\mint[0]^1 f(t)e(-nt)\text{d} t=\mint[0]^1f(t)\sum\limits_{n=-N}^Ne(n(x-t))\text{d} t\
$$
10pt]
&=&\mint[0]^1f(t)D_N(x-t)\text{d} t.
\end{aligned}
\end{equation}
📝定义 10 狄利克雷核
上式中 $D_N(y):=\sum\limits_{n=-N}^Ne(ny)$ 称为狄利克雷核 (Dirichlet kernel).
首先, $D_N(y)$ 是以 $1$ 为周期的偶函数.
$y=0$ 时, 有 $D_N(0)=2N+1$.
$y\in(0,1)$ 时, 有 $$
\begin{aligned}
D_N(y) &=& \dfrac{e(-Ny)(e((2N+1)y)-1)}{e(y)-1}=\dfrac{e\left(\dfrac{2N+1}{2}y\right)-e\left(-\dfrac{2N+1}{2}y\right)}{e\left(\dfrac{y}2\right)-e\left(-\dfrac y 2\right)} \ [10pt]
&=&\dfrac{\sin(2N+1)\pi y}{\sin\pi y}.
\end{aligned}$$
那么在 \eqref{fly部分和} 中作变量替换 $t\mapsto x-t$ 可得
$$
S_N(x)\int_{x-1}^x f(x-t)D_N(t)\text{d} t.
$$
又被积函数的周期是 $1$. 所以 \begin{equation}
S_N(x) = \int_0^{\frac 1 2}(f(x+t)+f(x-t))D_N(t)\text{d} t.
\end{equation}
此外, $D_N(t)$ 是偶函数.
\begin{equation}
\int_0^{\frac 1 2}D_N(t)\text{d} t=\frac 1 2\int_{-\frac 1 2}^{\frac 1 2}D_N(t)\text{d} t=\frac 1 2\sum\limits_{n=-N}^N\int_{-\frac 1 2}^{\frac 1 2}e(nt)\text{d} t=\frac 1 2.
\end{equation}
上述求和考虑交换积分求和号后用等比数列求和公式.
💡定理 11 黎曼局部化原理
假设 $f$ 是以 $1$ 为周期的函数并且 $f\in\mathscr R[0,1]$, 那么对给定的 $x$, $f$ 的 \fly 级数在点 $x$ 处收敛于 $s$ 当且仅当存在 $\delta>0$ 使得
\begin{equation}
\lim\limits_{N\to\infty}\int_0^{\delta}(f(x+t)+f(x-t)-2s)\frac{\sin(2N+1)\pi t}{t}\text{d} t=0.
\end{equation}
💡定理 12 迪尼判别法
设 $f$ 是以 $1$ 为周期的函数并且 $f\in\mathscr R[0,1]$, 如果对给定的 $x$ 及 $s$, 存在 $\delta\in(0,1)$ 使得 $\dfrac{f(x+t)+f(x-t)-2s}{t}$ 是关于变量 $t$ 的属于 $\mathscr{R}[0,\delta]$ 的函数 (单独定义该函数在 $0$ 处的值), 那么 $f$ 的 \fly 级数在 $x$ 处收敛于 $s$.
📝定义 13
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ (事实上, 只要求去心邻域内) 内有定义, 若存在常数 $L>0$ 及 $\alpha>0$ 使得对任意的 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 有
$$
|f(x)-f(x_0-0)|\leqslant L|x-x_0|^\alpha,
$$
且对任意的 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 有
$$
|f(x)-f(x_0+0)|\leqslant L|x-x_0|^\alpha.
$$
则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近满足$\alpha$ 阶利普希茨条件
ℹ️注 14
上述定理中 $f(x_0-0)$ 和 $f(x_0+0)$ 分别表示 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左/右极限.
ℹ️注 15
一般而言, 我们不会去研究 $\alpha>1$ 时的情况, 因为当 $\alpha>1$ 时, 考虑
$$
\left|\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|\leqslant L x^{\alpha-1},
$$
当 $x\to x_0$ 时, 右侧为 $0$ 即 $f'(x)=0$, $f(x)$ 是常值函数.
💡推论 16
设 $f$ 以 $1$ 为周期且 $f\in\mathscr R[0,1],\alpha\in(0,1]$. 如果 $f$ 在 $x$ 的附近满足 $\alpha$ 阶利普希茨条件, 那么 $f$ 的 \fly 级数在 $x$ 处收敛于 $\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$. 特别地, 若 $x$ 是 $f$ 的连续点, 则 $f$ 的 \fly 级数在 $x$ 处收敛于 $f(x)$.
📝证明
考虑证明 $s=\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$ 满足定理 \ref{fly迪尼判别法} 的条件.
📝定义 17
设 $f$ 是定义在 $[a,b]$ 上的一个函数, 若存在 $[a,b]$ 的一个分划
$$
a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,
$$
使得在每个子区间 $[x_{j-1},x_j]$ 上定义的函数 $$
g_j(x)=\begin{cases}
f(x_{j-1}+0), &x=x_{j-1},\
f(x),&x\in(x_{j-1},x_j) \
f(x_j-0), & x=x_j
\end{cases}
$$
均在 $[x_{j-1},x_j]$ 上可微, 则称 $f$ 是 $[a,b]$ 上的分段可微函数.
💡推论 18
设 $f$ 是以 $1$ 为周期且在 $[0,1]$ 上分段可微的函数, 则 $f$ 的 \fly 级数在每个点 $x$ 处均收敛于 $\dfrac{f(x+0)+f(x-0)} 2$. 特别地, 若 $f$ 满足以上条件且 $x$ 是 $f$ 的连续点, 则 $f$ 的 \fly 级数在 $x$ 处收敛于 $f(x)$.
🧪例 19
$$
\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos 2\pi n x}{n^2}=\pi^2\left(x^2-x+\frac 1 6\right).
$$
当 $x=0$ 则有
$$
\zeta(2)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{n^2}=\frac {\pi^2} 6.
$$
$$
\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin n} n=\frac{\pi-1}2.
$$
❓练习 20
费耶尔定理
📝定义 21
设 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 是一个级数, 用 $S_n$ 表示其部分和, 即 $S_n=\sum\limits_{k=1}^n u_k$. 再记
$$
\sigma_n=\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}n,
$$
并称之为 $\sum\limits{n=1}^\infty u_n$ 的第 $n$ 个切萨罗和. 如果 $\{\sigma_n\}$ 收敛, 则称 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 是切萨罗可和的, 此时称 $\{\sigma_n\}$ 的极限为 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 的切萨罗和.
💡定理 22 费耶尔
设 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的以 $1$ 为周期的函数且 $f$ 在 $[0,1]$ 上\hr{黎曼可积}, 又设 $f$ 至多有\hr{第一类间断点}, 则 $f$ 的 \fly 级数是切萨罗可和的, 且在 $x$ 处的切萨罗和为
$$
\frac{f(x+0)+f(x-0)}2.
$$
特别地, 若 $x$ 是连续点, 则 $x$ 处的切萨罗和为 $f(x)$.
ℹ️注 23
P234
💡定理 24
设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数且 $f(0)=f(1)$, 则对任意的 $\varepsilon>0$, 存在\hr{三角多项式} $P(x)=\sum\limits_{n=-N}^N c_ne(nx)$ 使得
$$
\max\limits_{x\in[0,1]}|f(x)-P(x)|<\varepsilon
$$
💡命题 25 \fly 级数的唯一性
设 $f,g$ 均是以 $1$ 为周期的连续函数, 如果对任意的 $n$ 有 $\hat f(n)=\hat g(n)$, 那么 $f=g$.
均值定理
📝定义 26
设 $f$ 是以 $1$ 为周期的实值函数, 并且 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积或者 $f$ 在 $[0,1]$ 上有有限多个奇点但反常积分 $\mint[0]^1 f(x)^2\text{d} x$ 收敛, 我们把满足上述条件的 $f$ 所成的集合记作 $\mathscr{R}^2[0,1]$. 值得一提的, $\mathscr{R}^2[0,1]\subseteq\mathscr{R}[0,1]$.
💡定理 27
\tiaojian.
- (1) 对任意的正整数
$N$ 及复数
$\alpha_n\ (-N\leqslant n\leqslant N)$ 有
$$
\int_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N \alpha_n e(nx)\right|^2\text{d} x\geqslant\int_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N\hat f(x)e(nx)\right|^2\text{d} x.
$$
- (2) 我们有
$$
\int_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N\hat f(x)e(nx)\right|^2\text{d} x=\int_0^1 f(x)^2\text{d} x-\sum\limits_{n=-N}^N|\hat f(n)|^2
$$
ℹ️注 28
注意辨别上述过程中每一项是实数还是复数, 上式中
$|x|$ 均表为复数的模长.\
$$
10pt]
并利用 $\mint[0]^1 f(x)e(nx)\text{d} x=\overline{\mint[0]^1 f(x)e(-nx)\text{d} x}=\overline{\hat f(n)}$.\
$$
10pt]
$2\Re \alpha_n\overline{\hat f(n)}=\overline{\alpha_n}\hat f(n)+\alpha_n\overline{\hat f(n)}$. 两倍实部等于自身加共轭.
💡定理 29 贝塞尔 (\t{Bessel}) 不等式
\tiaojian, 则对任意的整数 $N$ 有
$$
\sum\limits_{n=-N}^N|\hat f(n)|^2\leqslant\int_0^1 f(x)^2\text{d} x.
$$
💡定理 30 \fly 级数在积分均值意义下的收敛性
\tiaojian, 则有\begin{equation}
\lim\limits_{N\to \infty}\inf_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N \hat f(n)e(nx)\right|^2\text{d} x = 0.
\end{equation}
💡定理 31 帕塞瓦尔 (\t{Parseval}) 恒等式
\tiaojian, 则
$$
\sum\limits_{n\in\Z}|\hat f(n)|^2=\int_0^1f(x)^2\text{d} x.
$$
如果用 $a_n,b_n$ 表示也即
\begin{equation}
\int_0^1 f(x)^2\text{d} x=\frac{a_0^2} 4+\frac 1 2\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2).
\end{equation}
🧪例 32
利用例 \ref{ex:数分fly.1} 及上述定理知
$$
\int_{-\frac 12}^{\frac 12} x^4\text{d} x=\frac 1 {144}+\frac 1 2\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{\pi^4n^4},
$$
整理可得
$$
\zeta(4)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1 {n^4}=\frac{\pi^4}{90}.
$$
ℹ️注 33
类似的, 设 $k\in\Z_{\geqslant1}$. 通过考察以 $1$ 为周期的函数
$$
f(x)=x^k,\quad\forall x\in[-\frac{1}{2},\frac 1 2)
$$
可以归纳的证明
$$
\zeta(2k)=\frac{(-1)^{k+1}B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}
$$
其中 $B_n$ 是\hr{伯努利数}.
💡定理 34 广义帕塞瓦尔恒等式
设 $f,g$ 均是以 $1$ 为周期的函数, 且 $f,g\in\mathscr{R}^2[0,1]$, 则
$$
\sum\limits{n\in\Z}\hat f(n)\overline{\hat g (n)}=\int_0^1 f(x)g(x)\text{d} x.
$$