1.1 确界原理

题目

设 $A$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个非空子集, $a$ 是一个实数, 若包含 $a$ 的每个开区间都含有 $A$ 中异于 $a$ 的元素, 则称 $a$ 是 $A$ 的聚点.

现设 $A, B$ 均不是空集, 满足 $A \cup B = \mathbb{R}$ 以及 $A \cap B = \varnothing$.

证明: 或者 $A$ 含有 $B$ 的聚点, 或者 $B$ 含有 $A$ 的聚点.

@@ADMONITION_START@@type=note&open=false&title=%E8%AF%81%E6%98%8E@@ 设 $A_n=(-\infty,n] \cap A$, $B_n =(-\infty,n]\cap B$.

由 $A,B$ 非空, 可知存在 $n$, 使得 $A_n,B_n$ 均非空.

记 $a=\sup A_n,b=\sup B_n$, 显然有 $a,b\leqslant n$.

由 $A\cup B=n$, 不妨设 $n\in A$, 即 $a=n$.

下面考虑 $b$. - 若 $b \notin B$, 由 $\sup$ 的定义, $b$ 是 $B$ 的聚点, 但 $b\in A$. $A$ 中有 $B$ 的聚点. - 若 $b \in B$, 则 $b<n$. $\exists k_0, \ s.t.\ k \geq k_0$ 有 $b+\frac 1 k \leqslant n$, 则 $b+\frac 1 k\in A$, 从而对任意包含 $b$ 的开区间 $(x,y)$, 可以找到这样一个 $k=\max\{k_0,\lceil\frac{1}{y-b}\rceil\}$ 使得 $b+\frac 1 k\in A$, 即 $b$ 是 $A$ 的聚点. $B$ 中有 $A$ 的聚点.