设 $R$ 是一个非空集合, 在其上定义加法和乘法, 若满足下列性质 [leftmargin=1.5cm] - (1) (加法交换律) $a+b=b+a,\forall\ a,b\in R$. - (2) (加法结合律) $(a+b)+c = a+(b+c),\forall\ a,b,c\in R$. - (3) 存在零元, 记作 $0$. - (4) 存在负元, 记作 $-a$. - (5) (乘法结合律) $(ab)c=a(bc),\forall\ a,b,c\in R$. - (6) (乘法分配律) $a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca$.

则称 $R$ 是一个环.

如果环 $R$ 中有一个元素 $e$ 具有下述性质: $$ ea=ae=a,\quad\forall a\in R, $$ 那么称 $e$ 是 $R$ 的单位元 ($\neq 0$), 并称 $R$ 是幺环.

设 $R$ 是幺环. 对于 $a\in R$, 如果存在 $b\in R$ 使得 $$ ab=ba=e $$ , 那么称 $a$ 是一个可逆元(或单位), $b$ 称作 $a$ 的逆元, 记作 $a^{-1}$.

幺环 $R$ 的所有\hr{单位}关于 $R$ 上的乘法构成一个群, 称之为 $R$ 的单位群.

设 $R$ 是一个环. 对于 $a\in R$, 如果存在 $c\in R$ 且 $c\neq 0$, 使得 $ac=0$(或 $ca=0$), 那么称 $a$ 是一个左零因子(或右零因子). 二者统称零因子.

设 $F$ 是交换幺环, 如果 $F$ 中每个非零元素都是可逆元, 那么称 $F$ 是一个域.

设 $G$ 是一个非空集合. 如果在 $G$ 上定义了一个代数运算, 通常称作乘法, 并且满足: [leftmargin=1.5cm] - (1) $(ab)c=a(bc),\ \forall\ a,b,c\in G$ (结合律); - (2) $G$ 中存在单位元 $e$. - (3) $G$ 中每个元素都可逆.

那么称 $G$ 是一个群.

当群 $G$ 中只有有限个元素时, 称 $G$ 为有限群, 且元素个数称为 $G$ 的阶, 记作 $|G|$. 否则称 $G$ 是无限群.