环的理想, 域的构造
环同态, 理想, 商环
📝定义 1
若非空集合 $R_1\subseteq R$, $R$ 是一个环, 如果 $R_1$ 对于 $R$ 的加法和乘法也构成环, 则称 $R_1$ 是 $R$ 的子环.
💡命题 2
环 $R$ 的子集 $R_1$ 是的子环, 当且仅当
$$
a,b\in R_1\Rightarrow a-b\in R_1\wedge ab\in R_1.
$$
📝定义 3
如果环 $R$ 到环 $\widetilde{R}$ 有一个映射 $\sigma$, 满足:
$$
\begin{aligned}
\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b), \
\sigma(ab)=\sigma(a)+\sigma(b), \
\sigma(1)=\widetilde{1}.
\end{aligned}
$$
那么称 $\sigma$ 是环同态.
注: 只有存在单位元才需验证上述最后一条条件.
🧾性质 4
设 $\sigma$ 是 $R$ 到 $\widetilde{R}$ 的环同态, 则
$$
\sigma(0)=\widetilde{0},\quad\sigma(-a)=-\sigma(a).
$$
📝定义 5
称 $\Ker \sigma$ 为 $R$ 到 $\widetilde{R}$ 的环同态核.
📝定义 6
如果环 $R$ 的一个非空子集 $I$ 对 $R$ 的减法封闭, 并且具有"左, 右吸收性", 即
$$
a\in I,\ r\in R\ \Rightarrow ra \in I\wedge ar\in I,
$$
那么称 $I$ 是 $R$ 的一个理想或双边理想.
💡推论 7
理想是加法子群.
📝定义 8
称
$R$ 和
$\{0\}$ 是环
$R$ 的
平凡的理想.
如果 $R$ 只有平凡的理想, 那么称 $R$ 是单环.
💡推论 9
设环 $R$ 有单位元, 则 $R$ 的每个非平凡理想均不含有单位元.
💡推论 10
域 $F$ 没有非平凡理想.
📝证明
由于存在逆元, 非零理想中必存在幺元, 进而非零理想就是 $F$.
💡推论 11
设 $R$ 是交换幺环, 则
$$
R\ \t{是域}\Leftrightarrow R\ \t{没有非平凡理想}.
$$
📝证明
考虑 $Ra$ 是 $R$ 的理想, $Ra=R$ 可得存在 $ba=e$, 由此 $a$ 有逆元.
📝定义 12
如果环 $R$ 的子集 $J$ 对减法封闭, 并且具有"左吸收性", 即
$$
b\in J,r\in R\Rightarrow rb\in J.
$$
则称 $J$ 是 $R$ 的左理想.
📝定义 13
设 $I$ 是环 $R$ 的一个理想, 令
$$
R/I:={r+I|r\in R}.
$$
并在 $R/I$ 中规定
$$
(r_1+I)(r_2+I):=r_1r_2+I.
$$
则 $R/I$ 成为一个环, 称它为环 $R$ 对于理想 $I$ 的商环, 它的元素 $r+I$ 称为模 $I$ 的同余类.
📝定义 14
设 $I$ 是环 $R$ 的一个理想, 令 $$
\begin{aligned}
\pi: & R & \to & R/I \
& r & \mapsto & r+I.
\end{aligned}
$$
则 $\pi$ 是环 $R$ 到 $R/I$ 的一个环同态, 且是满同态, $\Ker\pi=I$. 称 $\pi$ 为 $R$ 到 $R/I$ 的自然环同态.
💡定理 15 环同态基本定理
设 $\sigma$ 是环 $R$ 到 $\widetilde{R}$ 的一个环同态, 则 $\Ker\sigma$ 是 $R$ 的一个理想, 且 $\tIm\sigma\cong R/\Ker\sigma$.
💡定理 16 第一环同构定理
设
$I$ 是环
$R$ 的一个理想,
$H$ 是
$R$ 的一个子环, 则
- (1)
$H+I$ 是
$R$ 的一个子环.
- (2)
$H\cap I$ 是
$H$ 的一个理想, 且
$H/H\cap I\cong (H+I)/I$.
💡命题 17
设 $I$ 是环 $R$ 的一个理想, 则商环 $R/I$ 的所有理想组成的集合为
$$
{K/I|K\ \t{是}\ R\ \t{的包含}\ I\ \t{的理想}}.
$$
💡定理 18 第二环同构定理
设 $I,J$ 是环 $R$ 的理想, 且 $I\subseteq J$, 则 $J/I$ 是 $R/I$ 的一个理想, 且有环同构:
$$
(R/I)/(J/I)\cong R/J.
$$
理想的运算, 环的直和
💡命题 19
设 $R$ 是含有单位元的交换环, 任给 $a\in R$, 令
$$
{ar|r\in R}=:aR=Ra:={ra|r\in R}
$$
则 $Ra, aR$ 是 $R$ 的理想.
💡命题 20
若 $\{I_j|j\in J\}$ 是环 $R$ 的一族理想, 则 $\bigcap\limits_{j\in J} I_j$ 也是 $R$ 的理想.
📝定义 21
设 $S$ 是环 $R$ 的非空子集, 把 $R$ 的所有包含 $S$ 的理想的交集称为由 $S$ 生成的理想, 记作 $(S)$. 如果 $S$ 是有限集, 那么称 $(S)$ 是有限生成的. 若 $S=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$, 则把 $(S)$ 记作 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$.
📝定义 22
环 $R$ 中由一个元素生成的理想称为主理想, 记作 $(a)$.
🧾性质 23
若 $R$ 是有单位元的交换环, 则 $Ra=(a)$.
💡命题 24
设 $R$ 是一个环 (不一定有单位元, 也不一定是交换环), 则元素 $a$ 生成的理想 $(a)$ 为
$$
(a)=\left{r_1a+ar_2+ma+\sum\limits_{i=1}^n x_iay_i|r_1,r_2,x_i,y_i\in R,m\in\Z,n\in\mathbb{N}^*\right}.
$$
💡命题 25
若 $R$ 是有单位元的交换环, $a_1,a_2,\ldots,a_n\in R$, 则
$$
(a_1,a_2,\ldots,a_n)={\sum\limits_{i=1}^n r_ia_i|r_i\in R,i=1,2,\ldots,n}.
$$
📝定义 26
设 $A,B$ 是环 $R$ 的两个非空子集, 定义
$$
\begin{aligned}
A+B:={a+b|a\in A,b\in B} \
AB:=\left{\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\bigg|a_i\in A,b_i\in B,i=1,2,\ldots,n,n\in\mathbb{N}^*\right}
\end{aligned}
$$
📝定义 27
若 $I,J$ 是环 $R$ 的两个理想, 则 $I+J,IJ$ 都是 $R$ 的理想, 分别称他们为理想的和、积, 并且有
$$
IJ\subseteq I\cap J\subseteq I+J.
$$
🧾性质 28
设 $I,J,K$ 都是环 $R$ 的理想, 则
$$
\begin{aligned}
I+J=J+I, \
(I+J)+K=I+(J+K), \
(IJ)K=I(JK), \
I(J+K)=IJ+IK, \
(J+K)I=JI+KI. \
\end{aligned}
$$
🧪例 29
在整环
$\Z$ 中,
\begin{equation}
(n)(m)=\left{\sum\limits_{i=1}^t(k_in)(l_im)\bigg|k_il_i\in\Z,1\leqslant i\leqslant t,t\in\mathbb{N}^*\right}=(nm),
\end{equation}
\begin{equation}
(n)\cap(m)=([n,m]),
\end{equation}
\begin{equation}
(n)+(m)={kn+lm|k,l\in\Z}=((n,m)).
\end{equation}
📝定义 30
设 $R$ 是有单位元的环, $I,J$ 是 $R$ 的理想. 如果 $I+J=R$, 那么称 $I$ 与 $J$ 互素.
🧪例 31
在整数环 $\Z$ 中,
$$
(n,m)=1 \Leftrightarrow (n)+(m)=(1)=\Z.
$$
💡命题 32
设 $R$ 是有单位元的环, $I,J,K$ 都是 $R$ 的理想. 如果 $I$ 和 $J$ 都与 $K$ 互素, 那么 $IJ$ 也与 $K$ 互素.
📝证明
考虑证明存在幺元.
🧪例 33
在整数环 $\Z$ 中, $(n)$ 与 $(m)$ 互素当且仅当 $(n,m)=1$.
💡命题 34
设 $R$ 是有单位元的交换环, $I,J$ 是 $R$ 的理想, 则
$$
I+J=R\Rightarrow IJ=I\cap J.
$$
🧪例 35
在整数环 $\Z$ 中,
$$
(n)+(m)=\Z\Rightarrow ([n,m])=(nm)\Rightarrow (n)\cap (m)=(n)(m).
$$
📝定义 36
设
$R_1,R_2,\ldots,R_s$ 都是环, 在笛卡尔积
$R_1\times R_2\times \cdots\times R_s$ 中规定
\begin{equation}
(a_1,a_2\ldots,a_s)+(b_1,b_2,\ldots,b_s):=(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_s+b_s),
\end{equation}
\begin{equation}
(a_1,a_2,\ldots,a_s)\times(b_1,b_2,\ldots,b_s):=(a_1b_1,a_2b_2,\ldots,a_sb_s).
\end{equation}
容易验证, 上述加法和乘法构成一个环, 称它为环
$R_1,R_2,\ldots,R_s$ 的
直和, 记作
$R_1\oplus R_2\oplus\cdot\oplus R_s$, 零元为
$(0_1,0_2,\ldots,0_s)$.
如果每个环有单位元则 $(1_1,1_2,\ldots,1_s)$ 是直和的单位元.
如果每个环都是交换环, 那么直和是交换环.
📝定义 37
设 $I$ 是环 $R$ 的一个理想, 对于 $a,b\in R$, 如果
$$
a-b\in I,
$$
那么称 $a$ 与 $b$ 模 $I$ 同余, 记作 $a\equiv b(\bmod\ I)$.
容易验证, 模 $I$ 同余是等价关系. 任给 $r\in R$, $r$ 的等价类 $$
\begin{aligned}
\overline{r} &={x\in R|x\equiv r(\bmod\ I)} \
&={x\in R|x-r\in I} = {x\in R|x-r=b,b\in I} \
&={r+b|b\in I}=r+I.
\end{aligned}
$$
我们称 $r+I$ 为模 $I$ 同余类.
🧾性质 38
若 $a\equiv b(\bmod\ I),c\equiv d(\bmod\ I)$, 则 $$
\begin{aligned}
a+c\equiv b+d(\bmod\ I),\
ac\equiv bd(\bmod\ I),\
ca\equiv db(\bmod\ I)
\end{aligned}
$$
💡定理 39
设 $R$ 是有单位元的环, 若它的理想 $I_1,I_2,\ldots,I_s$ 两两互素, 则有环同构: \begin{equation}
R/(I_1\cap I_2\cap\cdots\cap I_s)\cong R/I_1\oplus R/I_2\oplus\cdots\oplus R/I_s.
\end{equation}
💡定理 40 中国剩余定理
设 $m_1,m_2,\ldots,m_s$ 是两两互素的大于 $1$ 的整数, 任给整数 $b_1,b_2,\ldots,b_s$, 则一次同余方程
\begin{equation}
\begin{cases}
x\equiv b_1\ (\bmod\ m_1), \
x\equiv b_2\ (\bmod\ m_2), \
\cdots\cdots \
x\equiv b_s\ (\bmod\ m_s),
\end{cases}
\end{equation}
在 $\Z$ 中有解, 它的一个解是
$$
a=\sum\limits_{i=1}^s b_iv_i\prod\limits_{j\neq i}m_j,
$$
其中 $v_i$ 满足 $u_im_i+v_i\prod\limits_{j\neq i}m_j=1,i=1,2,\ldots,s$. 它的全部解为
$$
a+km_1m_2\cdots m_s,\quad k\in\Z.
$$
📝定义 41
设 $I$ 是交换环 $R$ 的一个理想. 令
$$
\rad I:={r\in R\ |\ r^n\in I,\exists\ n\in \mathbb{N}^},
$$
称 $\rad I$ 是理想 $I$ 的根*, 且 $\rad I$ 是 $R$ 的一个理想.
📝定义 42
若环 $R$ 中元素 $a$, 满足 $\exists\ n\in \mathbb{N}^*,\ s.t.\ a^n=0$, 那么称 $a$ 是幂零元.
并且如果 $R$ 有单位元且 $a$ 是幂零元, 则 $1-a$ 可逆.
📝定义 43
在交换环 $R$ 中, 所有幂零元组成的集合是 $R$ 的一个理想, 且它是零理想 $(0)$ 的根, 称为 $R$ 的幂零根.
📝定义 44
设
$I_1,I_2,\ldots,I_s$ 都是环
$R$ 的理想, 并且
\begin{equation
}
\begin{aligned}
R=I_1+I_2+\cdots I_s \
I_i\cap\left(\sum\limits_{j\neq i}I_j\right)=(0),\quad i=1,2,\ldots,s.
\end{aligned}
\end{equation}
则
- (1) 环
$R$ 的每个元素
$x$ 都可以唯一表示成
$$
x=x_1+x_2+\cdots+x_s,\quad x_i\in I_i,i=1,2,\ldots,s.
$$
- (2) 有环同构
$$
R\cong I_1\oplus I_2\oplus\cdots\oplus I_s,
$$
并称
$R$ 是其理想
$I_1,I_2,\ldots,I_s$ 的
内直和.
素理想和极大理想
ℹ️注 45
本节中主要研究含幺环.
📝定义 46
若 $R$ 交换幺环, 且 $R$ 没有非零的零因子, 则称 $R$ 是整环.
📝定义 47
设 $R$ 是交换幺环, $P$ 是 $R$ 的理想, 且 $P\neq R$. 如果从 $ab\in P$ 可以推出 $a\in P$ 或者 $b\in P$, 那么称 $P$ 是一个素理想.
🧪例 48
在整环 $\Z$ 中, 设 $p$ 是大于 $1$ 的整数, 则
$$
p\ \t{是素数}\Leftrightarrow (p)\ \t{是素理想}
$$
🧪例 49
在域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$ 中, 设 $p(x)$ 是次数大于 $0$ 的多项式, 则
$$
p(x)\ \t{不可约}\Leftrightarrow (p(x))\ \t{是素理想}
$$
💡推论 50
设 $R$ 是交换幺环, 则
$$
(0)\ \t{是}\ R\ \t{的一个素理想}\Leftrightarrow R\ \t{是整环}
$$
🧪例 51
整数环 $\Z$ 的每一个理想都是由一个非负整数生成的主理想.
📝证明
取理想中最小的正元素为除数做带余除法.
💡推论 52
$\Z$ 的全部素理想为 $(0),(p)$, 其中 $p$ 是素数.
💡定理 53
设 $R$ 是交换幺环, $P$ 是 $R$ 的一个理想, 则
$$
\t{商环}\ R/P\ \t{是整环}\Leftrightarrow P\ \t{是}\ R\ \t{的素理想}.
$$
📝定义 54
设 $R$ 是环, $M$ 是 $R$ 的理想, 且 $M\neq R$. 如果 $R$ 中包含 $M$ 的理想只有 $M$ 和 $R$, 那么称 $M$ 是 $R$ 的一个极大理想.
💡定理 55
设 $R$ 是交换幺环, $I$ 是 $R$ 的一个理想, 则
$$
\t{商环}\ R/I\ \t{是域}\Leftrightarrow I\ \t{是}\ R\ \t{的极大理想}
$$
📝证明
利用推论 \ref{交换幺环是域等价于没有非平凡理想} 和极大理想定义即可直接得到.
🧪例 56
域 $F$ 上一元多项式环 $F[x]$ 的每一个理想都是主理想, 其中非 $(0)$ 的主理想可以由首项系数为 $1$ 的多项式生成.
📝证明
类比例 \ref{整数环理想都是主理想} 取次数最低(非 $0$ 次)的多项式做带余除法.
🧪例 57
在整数环 $\Z$ 中, 设 $p$ 是大于 $1$ 的整数, 则
$$
p\ \t{是素数}\Leftrightarrow (p)\ \t{是极大理想}
$$
🧪例 58
域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$ 中, 设 $p(x)$ 是次数大于 $0$ 的多项式, 则
$$
p(x)\ \t{不可约}\Leftrightarrow (p(x))\ \t{是}\ F[x]\ \t{的极大理想}.
$$
🧪例 59
域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$ 中, $M$ 是 $F[x]$ 的一个理想, 则
$$
F[x]/M\ \t{是域}\Leftrightarrow M=(p(x)),\quad\t{其中}\ p(x)\ \t{是不可约多项式}.
$$
💡定理 60
在幺环 $R$ 中必存在极大理想.
📝定义 61
设 $R$ 是幺环, 令 $\Z e:=\{ne|n\in \Z\}$. 则有 $\Z e$ 是 $R$ 的子环, 且存在非负整数 $m$ 满足环同构 $\Z/(m)\cong \Z e$, 我们称 $m$ 是环 $R$ 的特征.
ℹ️注 62
环的特征也定义为, 最小的正整数
$m$ 满足
$\forall\ r\in R,mr=0$. 如果不存在这样的正整数, 则称环的特征为
$0$.
可以理解为环中单位元的加法阶.
💡命题 63
如果 $R$ 是整环, 那么 $R$ 的特征是 $0$ 或者一个素数.
有限域的构造, 构造扩域的途径
由上节, 我们已经知道若 $p(x)$ 是 $F[x]$ 上的不可约多项式, 那么 $F[x]/(p(x))$ 是一个域.
在具体研究这个域的性质前, 我们先补充几个概念.
💡定理 64
设域 $F$ 的单位元为 $e$, 则要么 $\forall\ n\in \mathbb{N}^*$ 有 $ne\neq 0$, 要么存在一个素数 $p$, 使得 $pe=0$ 且对于 $0<l<p,\ le\neq 0$.
📝定义 65
设域
$F$ 的单位元为
$e$.
如果 $\forall\ n\in \mathbb{N}^*$ 有 $ne\neq 0$, 则称域 $F$ 的特征为 $0$.
如果存在素数 $p$, 使得 $pe=0$ 且对于 $0<l<p,\ le\neq 0$, 则称域 $F$ 的特征为 $p$.
🧪例 66
构造含
$4$ 个元素的域.
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考虑在 $\Z_2[x]$ 中取不可约多项式 $x^2+x+\overline{1}$, 则 $\Z_2[x]/(x^2+x+\overline{1})$ 是一个域, 任取 $f(x)$ 做带余除法, 可得余数就是不同等价类的代表元, 由此可知该域仅有四个元素. 当我们记 $u=x+(x^2+x+\overline{1})$, 则
$$
\Z_2[x]/(x^2+x+\overline{1})={0,1,u,1+u}.
$$
又 $2(\overline{1}+(x^2+x+\overline{1}))=(\overline{1}+\overline{1})+(x^2+x+\overline{1})=\overline{0}+(x^2+x+1)$
该步中, $\overline{1}+\overline{1}=\overline{0}$ 因为在 $\Z_2$ 中.
由此, 该四元域的特征为 $2$. 我们有 $u^2+u+1=(x^2+x+\overline{1})+(x^2+x+\overline{1})=(x^2+x+\overline{1})=0.$
且满足 $u+(1+u)=1+2u=1+0=1$ (利用域的特征为 $2$), $u(1+u)=u+u^2=-1=1$. (利用 $u^2+u+1=0$)
💡定理 67
设 $F_q$ 是含 $q$ 个元素的有限域, 其中 $q=p^r$, $p$ 为素数, $r\geqslant 1$. 如果 $F_q[x]$ 的 $n$ 次不可约多项式为 $m(x) = a_0+a_1x + \cdots+a_nx^n$, 那么 $F_q[x]/(m(x))$ 是含 $q^n$ 个元素的域, 并且它的每一个元素可以唯一地表示成
$$
c_0+c_1u+\cdots+c_{n-1}u^{n-1},
$$
其中 $c_i\in F_q,\ i=0,1,\ldots,n-1;\ u=x+(m(x)),u$ 满足
$$
a_0+a_1u+\cdots +a_nu^n = 0.
$$
注意到, 尽管 $m(x)$ 在 $F_q$ 中无根, 但是在我们构造出来的域 $F_q[x]/(m(x))$ 中, 元素 $u=x+m(x)$, 有 $m(u)=0$, 即 $u$ 是 $m(x)$ 的根.
由此, 对于当前域中不可约多项式 $m(x)$, 我们可以通过该方法构造出一个更大的域, 使其在更大的域中有根.
🧪例 68
在实数域
$\mathbb{R}$ 中, 多项式
$x^2+1$ 不可约, 那么就考虑域
$\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$.
则取 $u=x+(x^2+1)$, 那么 $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ 中的元素可唯一表示为
$$
c_0+c_1u,\quad c_0,c_1\in \mathbb{R}.
$$
且有 $u^2+1=0$.
更进一步的考虑到复数域的映射 $\sigma:c_0+c_1u\mapsto c_0+c_1i$.
容易验证这是双射, 即
$$
\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}.
$$
更一般的, 我们有如下结论:
💡定理 69
设 $F$ 是一个域, $p(x)=x^r+b_{r-1}x^{r-1}+\cdots+b_1x+b_0$ 是 $F$ 上的一个不可约多项式, 那么 $F[x]/(p(x))$ 是一个域, 并且 $\sigma:a\mapsto a+(p(x))$ 是 $F$ 到 $F[x]/(p(x))$ 的一个单的环同态, 从而可以把 $a$ 和 $a+(p(x))$ 等同. 又取 $u=x+(p(x))$, 则 $F[x]/(p(x))$ 的每个元素可以唯一表成
$$
c_0+c_1u+\cdots+c_{r-1}u^{r-1},
$$
其中 $c_i\in F$, 并且 $u$ 是 $p(x)$ 在 $F[x]/(p(x))$ 中的根.
📝定义 70
设 $R$ 和 $\widetilde{R}$ 都是有幺环, 如果 $\widetilde{R}$ 有一个子环 $\widetilde{R}_1$ 且与 $\widetilde{R}$ 具有相同的幺元, 并且 $\widetilde{R}_1$ 与 $R$ 环同构, 那么把 $\widetilde{R}$ 称为 $R$ 的一个扩环, 此时可以把 $R$ 看作是 $\widetilde{R}$ 的一个子环.
📝定义 71
设 $F$ 和 $K$ 都是域, 如果 $F$ 与 $K$ 的一个子环 $K_1$ 环同构, 那么称 $K$ 是 $F$ 的一个扩域, 或者称 $K$ 是 $F$ 上的一个域扩张, 记作 $K/F$, 此时可以把 $F$ 看成是 $K$ 的一个子域.
📝定义 72
设 $R$ 是交换幺环, $\widetilde{R}$ 是 $R$ 的一个扩环, 且 $\widetilde{R}$ 是交换环. 任意取定 $\widetilde{a}\in\widetilde{R}$, 我们把 $\widetilde{R}$ 中包含 $R\bigcup \{\widetilde{a}\}$ 的所有子环的交称为 $R$ 添加 $\widetilde{a}$ 得到的子环, 或者 $\widetilde{a}$ 在 $R$ 上生成的子环, 记作 $R[\widetilde{a}]$.
📝定义 73
考虑
$R[\widetilde{\alpha}]$ 中元素的形式, 对于任意的
$a_0,a_1\ldots,a_n\in R$, 有
$$
a_0+a_1\widetilde{\alpha}+\cdots+a_n\widetilde{\alpha}^n\in R[\widetilde{\alpha}].
$$
容易验证
$$
R[\widetilde{\alpha}]={a_0+a_1\widetilde{\alpha}+\cdots+a_n\widetilde{\alpha}^n|a_0,a_1\ldots,a_n\in R,n\in \mathbb{N}}.
$$
其中 $a_0+a_1\widetilde{\alpha}+\cdots+a_n\widetilde{\alpha}^n$ 称为 $\widetilde{\alpha}$ 在 $R$ 上的一个多项式.
下面我们来研究, 当我们将上述 $R$ 取成域 $F$ 时, 在什么条件下 $F[\widetilde{\alpha}]$ 是一个域. 由于域中非零元都不是零因子, 因此显然有一个必要条件 $\widetilde{R}$ 是\hyperref[整环]{\tr{整环}}. 所以接下来的讨论都建立在 $\widetilde{R}$ 是整环的情况下.
考虑下述对应法则:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sigma_{\widetilde{a}}:F[x]&\to& \widetilde{R} \
f(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i& \mapsto& f(\widetilde{\alpha}):=\sum\limits_{i=0}^n a_i\widetilde{\alpha}^i.
\end{aligned}
\end{equation}
容易验证, $\sigma_{\widetilde{a}}$ 是 $F[x]$ 到 $\widetilde{R}$ 的一个环同态, 并且有 $\tIm\sigma_{\widetilde{a}}=F[\widetilde{\alpha}]$ 于是根据\hyperref[环同态基本定理]{环同态基本定理}得
$$
F[x]/\Ker\sigma_{\widetilde{a}}\cong F[\widetilde{\alpha}].
$$
又 $\Ker\sigma_{\widetilde{a}}=\{f(x)\in F[x]|\widetilde{\alpha}\t{ 是 } f(x) \t{ 的一个根}\}$. 由于 $\Ker\sigma_{\widetilde{a}}$ 是 $F[x]$ 的一个理想, 且 $F[x]$ 的理想都是主理想, 因此 $\Ker\sigma_{\widetilde{a}}=(0)$ 或者 $\Ker\sigma_{\widetilde{a}}=(m(x))$, 其中 $m(x)$ 是首项系数为 $1$ 的多项式.
下面, 我们对这两种情况分别讨论.
📝定义 74
[leftmargin=1.5cm]
- (1) 当
$\Ker\sigma_{\widetilde{a}}=(0)$ 时, 则
$\widetilde{\alpha}$ 不是
$F[x]$ 中任何非零多项式的根, 此时称
$\widetilde{\alpha}$ 是
$F$ 上的
超越元. 并且有
$$
F[\widetilde{\alpha}]\cong F[x]/(0)\cong F[x].
$$
由
$F[x]$ 不是域, 从而
$F[\widetilde{\alpha}]$ 不是域.
- (2) 当
$\Ker\sigma_{\widetilde{a}}=(m(x))$ 时, 则
$\widetilde{\alpha}$ 是
$F[x]$ 中非零多项式
$m(x)$ 的一个根, 此时称
$\widetilde{\alpha}$ 是
$F$ 上的
代数元. 且
$F[x]$ 中以
$\widetilde{\alpha}$ 为根的多项式都是
$m(x)$ 的倍式. 因此
$m(x)$ 是所有以
$\widetilde{\alpha}$ 为根的非零多项式中次数最低的, 称之为
$\widetilde{\alpha}$ 在
$F$ 上的
极小多项式.
并且有 $m(x)$ 是不可约的, 否则设 $m(x)=m_1(x)m_2(x)$, 则有 $0=m(\widetilde{\alpha})=m_1(\widetilde{\alpha})m_2(\widetilde{\alpha})$. 由于 $\widetilde{R}$ 是整环, 所以有 $m_1(\widetilde{\alpha})=0$ 或者 $m_2(\widetilde{\alpha})=0$. 那么不妨设 $m_1(\widetilde{\alpha})=0$ 就有 $m_1(x)\in\Ker\sigma_{\widetilde{a}}$, 但显然有 $m_1(x)\notin (m(x))$, 故产生矛盾.
由此, $m(x)$ 是不可约的, 从而 $F[x]/(m(x))$ 是一个域, 又 $F[\widetilde{\alpha}]\cong F[x]/(m(x))$, 故 $F[\widetilde{\alpha}]$ 是一个域.
在之前, 我们已经知道, $F[x]/(m(x))$ 的每一个元素可以唯一表示成
$$
c_0+c_1u+\cdots+c_{r-1}u^{r-1}
$$
其中 $u=x+m(x)$. 那么根据环同态基本定理中用到的环同态映射
$$
\psi(f(x)+(m(x)))=\sigma_{\widetilde{a}}(f(x))=f(\widetilde{\alpha}).
$$
从而 $\psi(c_0+c_1u+\cdots+c_{r-1}u^{r-1})=\psi(c_0+c_1x+\cdots+c_{r-1}x^{r-1}+(m(x)))\\=c_0+c_1\widetilde{\alpha}+\cdots+c_{r-1}\widetilde{\alpha}^{r-1}$, 特别的, 有 $\psi(u)=\widetilde{\alpha}$.
因此 $F[\widetilde{\alpha}]$ 的每个元素都可以唯一的表示成
$$
c_0+c_1\widetilde{\alpha}+\cdots+c_{r-1}\widetilde{\alpha}^{r-1}.
$$
综上所述, 我们得到了定理:
💡定理 75
设
$F$ 是一个域,
$\widetilde{R}$ 是
$F$ 的一个\hr{扩环}, 且
$\widetilde{R}$ 是\hr{整环}. 任取
$\widetilde{\alpha}\in \widetilde{R}$.
[leftmargin=1.5cm]
- (1) 若 $\widetilde{\alpha}$ 是 $F$ 上的\hr{超越元}, 则 $F[\widetilde{\alpha}]$ 同构于 $F[x]$, 从而 $F[\widetilde{\alpha}]$ 不是域.
- (2) 若 $\widetilde{\alpha}$ 是 $F$ 上的\hr{代数元}, 且 $\widetilde{\alpha}$ 在 $F$ 上的\hr{极小多项式}为 $m(x)$, 则 $m(x)$ 在 $F$ 上不可约, 且 $F[\widetilde{\alpha}]$ 是同构于 $F[x]/(m(x))$ 的域. $F[\widetilde{\alpha}]$ 中的元素可以唯一的表成
$$
c_0+c_1\widetilde{\alpha}+\cdots+c_{r-1}\widetilde{\alpha}^{r-1}.
$$
ℹ️注 76
当 $F[\widetilde{\alpha}]$ 是域时, 我们将其记作 $F(\widetilde{\alpha})$.
📝定义 77
当我们取 $F=\mathbb{Q},\widetilde{R}=\mathbb{C}$ 时, 如果复数 $t$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的\hr{代数元}, 那么称 $t$ 是一个代数数. 相应的, 如果 $t$ 是\hr{超越元}, 那么称之为超越数.
📝定义 78
在复数域 $\mathbb{C}$ 中的一个本原 $n$ 次单位根 $\xi_n=e^{i\frac{2\pi}{n}}$ 是一个\hr{代数数}. 于是 $\mathbb{Q}[\xi_n]$ 是一个域, 称它为第 $n$ 个分圆域. 由于本原 $n$ 次单位根有 $\varphi(n)$ 个, 分别记作 $\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_{\varphi(n)}$, 令
$$
f_n(x)=(x-\eta_1)(x-\eta_2)\cdots(x-\eta_{\varphi(n)})
$$
则称 $f_n(x)$ 是 $n$ 阶分圆多项式. 可以证明 $f_n(x)=m_{\xi_n}(x)$, 其中 $m_{\xi_n}(x)$ 是 $\xi_n$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式, 从而
$$
\mathbb{Q}(\xi_n)\cong \mathbb{Q}[x]/(f_n(x)).
$$
📝定义 79
如果一个复数 $\alpha$ 是一个首项系数为 $1$ 的整系数多项式的根, 那么称 $\alpha$ 是一个代数整数.
📝定义 80
对于任意整数 $n,m$, 复数 $m+n\text{i}$ 是\hr{代数整数}, 称这种形式的\hr{代数整数}为高斯整数.
分式域
📝定义 81
设 $R$ 是一个\hr{整环}, 如果有一个域 $F$ 使得从 $R$ 到 $F$ 有一个单的\hr{环同态} $\sigma$, 并且 $F$ 中每个元素都可以表成 $\sigma(a)\sigma(b)^{-1}$, 即 $ab^{-1}$ 的形式, 其中 $a\in R,b\in R^*$, 那么把 $F$ 称为 $R$ 的分式域. 我们常常把 $ab^{-1}$ 记作 $\dfrac{a}{b}$.
🧪例 82
考虑 $\Z$ 到 $\mathbb{Q}$ 的映射 $\sigma(a)=a$. 那么根据定义 $\mathbb{Q}$ 是 $\Z$ 的\hr{分式域}.
💡定理 83
设 $R$ 是一个\hr{整环}, 则存在 $R$ 的分式域, 并且在\hr{环同构}的意义下, $R$ 的\hr{分式域}是唯一的.
任一域 $F$ 上的 $n$ 元多项式环 $F[x_1,\ldots,x_n]$ 是一个\hr{整环}. 于是存在 $F[x_1,\ldots,x_n]$ 的\hr{分式域}, 记作 $F(x_1,\ldots,x_n)$, 它的元素可以表示成
$$
\frac{f(x_1,\ldots,x_n)}{g(x_1,\ldots,x_n)},
$$
其中 $g(x_1,\ldots,x_n)\neq 0$.
📝定义 84
$F(x_1,\ldots,x_n)$ 的元素
$\dfrac{f(x_1,\ldots,x_n)}{g(x_1,\ldots,x_n)}$ 称为
$n$ 元分式, 其中
$f(x_1,\ldots,x_n)$ 称为
分子,
$g(x_1,\ldots,x_n)$ 称为
分母.
若 $l(x_1,\ldots,x_n)\neq 0$, 则有
\begin{equation}
\frac{f(x_1,\ldots,x_n)l(x_1,\ldots,x_n)}{g(x_1,\ldots,x_n)l(x_1,\ldots,x_n)}=\frac{f(x_1,\ldots,x_n)}{g(x_1,\ldots,x_n)}.
\end{equation}
上式称为 $n$ 元分式的基本性质.