模
环上的模, 子模, 商模, 模同态
📝定义 1
设
$M$ 是一个 \Abel 加法群,
$R$ 是幺环. 如果
$R\times M$ 到
$M$ 有一个映射:
$(r,a)\mapsto ra$, 并且满足下列
$4$ 条法则：
$\forall a_1,a_2,a\in M,r,r_1,r_2\in R$, 有
- (1)
$r(a_1+a_2)=ra_1+ra_2$.
- (2)
$(r_1+r_2)a=r_1a+r_2a$.
- (3)
$(r_1r_2)a=r_1(r_2a)$.
- (4)
$1a=a$.
那么称 $M$ 是环 $R$ 上的一个左模或一个左 $R$-模.
特别的, 幺环 $R$ 中的加法群 $(R,+)$ 是 $R$ 的一个左模, 称它为 $R$ 的左正则模或左正则 $R$-模.
同样, 我们可以类似地定义右模.
📝定义 2
设
$M$ 是一个 \Abel 加法群,
$R$ 是幺环. 如果
$R\times M$ 到
$M$ 有一个映射:
$(r,a)\mapsto ra$, 并且满足下列
$4$ 条法则：
$\forall a_1,a_2,a\in M,r,r_1,r_2\in R$, 有
- (1)
$(a_1+a_2)r=a_1r+a_2r$.
- (2)
$a(r_1+r_2)=ar_1+ar_2$.
- (3)
$a(r_1r_2)=(ar_1)r_2$.
- (4)
$a1=a$.
那么称 $M$ 是环 $R$ 上的一个右模或一个右 $R$-模.
特别的, 幺环 $R$ 中的加法群 $(R,+)$ 是 $R$ 的一个右模, 称它为 $R$ 的右正则模或右正则 $R$-模.
📝定义 3
设 $R$ 是交换幺环, $M$ 是 $R$ 的左模, 令
$$
ar:=ra,\quad\forall a\in M,r\in R.
$$
则 $M$ 也是右模, 此时称 $M$ 是 $R$-模.
💡命题 4
设
$M$ 是幺环
$R$ 的左模, 则
$\forall r,r_1,\ldots,r_m\in R,a_1,a_2,\ldots,a_n\in M$, 有
- (1)
$r0=0$.
- (2)
$r(-a)=-ra$.
- (3)
$0a=0$.
- (4)
$(-r)a=-ra$.
- (5)
$r\sum\limits_{i=1}^na_i=\sum\limits_{i=1}^n ra_i$.
- (6)
$(\sum\limits_{i=1}^m r_i)a=\sum\limits_{i=1}^m r_ia$.
📝定义 5
设
$M$ 是幺环
$R$ 的左模,
$H$ 是
$M$ 的非空子集. 如果
$H<M$, 并且对任意的
$r\in R,h\in H$, 都有
$rh\in H$. 那么称
$H$ 是
$M$ 的
子模.
特别的, 我们称 $\{0\}$ 和 $M$ 是 $M$ 的平凡子模.
ℹ️注 6
下面的研究均针对左模, 对于右模的结论可类似得到.
因而下述商模等定义可看作左商模等.
📝定义 7
设
$\{H_i\}$ 是
$M$ 的子模, 规定
$$
H_1+H_2+\cdots+H_t:={h_1+h_2+\cdots+h_t|h_i\in H_i}.
$$
容易验证这是
$M$ 的一个子模, 称为子模的
和.
如果 $H_1+H_2+\cdots+H_t$ 中每个元素的表示方式均唯一, 那么称之为\mydef[模的内直和]{内直和}.
📝定义 8
设 $M$ 和 $\widetilde{M}$ 是 $R$ 的两个左模, 如果存在一个\tr{群同态} $\eta$, 并且 $\eta$ 和环 $R$ 的作用可交换, 即
$$
\eta(rx)=r[\eta(x)],\quad \forall r\in R,x\in M.
$$
那么称 $\eta$ 为模同态, 如果 $\eta$ 是群同构, 则称为模同构.
📝定义 9
类似群和环中的定义, 我们可以定义模对其子模的商模.
类似的, 我们也有下述定理.
💡定理 10 模同态基本定理
设 $M$ 和 $\widetilde{M}$ 都是左 $R$-模, 若 $\eta$ 是模同态, 则 $\Ker\eta$ 是 $M$ 的一个子模, $\tIm$ 是 $\widetilde{M}$ 的一个子模, 且有
$$
M/\Ker\eta\cong\tIm\eta.
$$
自由模
📝定义 11
设
$R$ 是幺环,
$M$ 是左
$R$-模. 如果
$M$ 有一个子集
$S$, 满足
- (1)
$M$ 中每个元素
$x$ 能表示成
$S$ 中有限多个元素的
$R$-线性组合:
$$
x=r_1\alpha_{i_1}+r_2\alpha_{i_2}+\cdots+r_m\alpha_{i_m},
$$
其中
$\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_m}\}\subseteq S,\ r_1,r_2,\ldots,r_m\in R,m\in \mathbb{N}^*$.
- (2)
$S$ 的任一有限子集
$S_1=\{\alpha_{j_1},\alpha_{j_2},\ldots,\alpha_{j_t}\}$ 是
$R$-线性无关的, 即从
$r_1\alpha_{j_1}+r_2\alpha_{j_2}+\cdots+r_t\alpha_{j_t}=0$ 可以推出
$$
r_1=r_2=\cdots=r_t=0,
$$
那么称 $S$ 是 $M$ 的一个基.
📝定义 12
若左 $R$-模 $M$ 有一个基, 则称 $M$ 是自由左 $R$-模.
💡定理 13
设 $M$ 是一个自由左 $R$-模, $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 是 $M$ 的一个基. 设 $\widetilde{M}$ 是任一左 $R$-模, 任取 $\widetilde{M}$ 的 $n$ 个元素 $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$. 令 $$\begin{aligned}
\sigma:M& \to & \widetilde{M}\\
x=\sum\limits{i=1}^n r_i\alpha_i & \mapsto & \sum\limits_{i=1}r_i\beta_i,
\end{aligned}$$ 则 $\sigma$ 是模同态, 且 $\sigma(\alpha_i)=\beta_i$. 并且满足把 $\alpha_i$ 映成 $\beta_i$ 的模同态是唯一的.
💡定理 14
设 $M$ 是一个以 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 为基的自由左 $R$-模, 则 $M\cong R^n$.
💡引理 15
💡定理 16
设 $R$ 是交换幺环, $M$ 是有有限基的自由模, 则 $M$ 的任意两个基所含元素个数相等.
📝定义 17
设 $R$ 是交换幺环, $M$ 是一个有有限基的自由模, 则 $M$ 的基所含的元素个数称为 $M$ 的\mydef[自由模的秩]{秩}.
💡定理 18
设 $R$ 是\hr{主理想整环}, $M$ 是秩为 $n$ 的自由模, 则 $M$ 的任意子模 $N$ 也是自由模, 且 $N$ 的秩不超过 $n$.
ℹ️注 19
如果 $R$ 不是主理想整环, 那么自由模的子模不一定是自由模, 可参考下述例子.
🧪例 20
设
$R=\Z_6$, 则
$R$ 是秩为
$1$ 的自由模, 但
$2R=\{0,2,4\}$ 是
$R$ 的子模却不是自由模.
可以发现 $2R$ 中的元素自身就线性相关, 故均不在基中, 从而 $2R$ 没有基.