整环的整除性
整除关系, 不可约元, 素元, 最大公因子
📝定义 1
设 $R$ 是\hr{整环}, 对于 $a,b\in R$, 若存在 $c\in R$, 使得 $a=bc$, 则称 $b$ 整除 $a$, 记作 $b\mid a$. 否则称 $b$ 不能整除 $a$, 记作 $b \nmid a$. 当 $b\mid a$ 时, 称 $b$ 是 $a$ 的因子, $a$ 是 $b$ 的倍元.
{{< admonition abstract "性质" true >}}\
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- (1) 由\hr{整除}的定义立即得到: 在\hr{整环} $R$ 中, $b\mid a\Leftrightarrow (a)\subseteq(b)$.
- (2) 任意元素都是 $0$ 的一个因子. 特别的, $0$ 也是 $0$ 的因子.
- (3) 在\hr{整环}中 $u\t{ 可逆}\Leftrightarrow\ \exists\ v\in R,\ s.t.\ uv=1\Leftrightarrow u\mid 1\Leftrightarrow 1\in (u)\Leftrightarrow (u)=R$.
- (4) 设 $u$ 可逆, 则 $\forall\ a\in R,$ 有 $a=u(u^{-1}a)$, 从而 $u\mid a$.
因此可逆元是 $R$ 中任意元素的\hr{因子}.
- (5) 若 $b\mid a_1,b\mid a_2$ 则有
$$
b\mid(r_1a_1+r_2a_2),\quad\forall\ r_1,r_2\in R.
$$
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📝定义 2
在\hr{整环} $R$ 中, 若 $b\mid a\wedge a\mid b$, 则称 $a$ 与 $b$ 相伴, 记作 $a\sim b$.
容易验证, \hr{相伴}是 $R$ 上的一个\hr{等价关系}.
💡命题 3
在\hr{整环} $R$ 中, $a\sim b$ 当且仅当存在可逆元 $u$ 使得 $a=bu$.
💡推论 4
在\hr{整环} $R$ 中, 若 $a\sim b,c\sim d$, 则 $ac\sim bd$.
📝定义 5
在\hr{整环} $R$ 中, 若 $b\mid a$ 但是 $a\nmid b$ (即 $b$ 是 $a$ 的一个\hr{因子}, 但是 $b$ 不是 $a$ 的\hr{相伴}元), 则称 $b$ 是 $a$ 的一个真因子.
📝定义 6
在\hr{整环} $R$ 中, $a$ 的任一\hr{相伴}元, 以及 $R$ 中任一可逆元都是 $a$ 的\hr{因子}, 称这些\hr{因子}是 $a$ 的平凡因子. 其他因子称为 $a$ 的非平凡因子.
📝定义 7
在\hr{整环} $R$ 中, 设 $a\neq 0$, 且 $a$ 不可逆. 如果 $a$ 只有\hr{平凡因子}, 那么称 $a$ 是不可约的, 否则称 $a$ 是可约的.
利用\hr{相伴}的性质可以推出, \hr{不可约元}的\hr{相伴}元也是\hr{不可约元}.
📝定义 8
设 $a\neq 0$, 且 $a$ 不可逆. 如果从 $a\mid bc$ 可以推出 $a\mid b$ 或 $a\mid c$, 那么称 $a$ 是一个素元.
💡命题 9
在\hr{整环} $R$ 中, \hr{素元}一定是\hr{不可约元}.
💡命题 10
在\hr{整环} $R$ 中, $a$ 为素元当且仅当 $(a)$ 是非零\hr{素理想}
📝定义 11
在\hr{整环} $R$ 中, 对于 $a,b\in R$. 如果有 $c\in R$ 使得 $c\mid a\wedge c \mid b$ 那么称 $c$ 是 $a$ 与 $b$ 的一个公因子. 如果 $a$ 与 $b$ 的一个公因子 $d$ 满足: 对于 $a,b$ 的任一公因子 $c$ 有 $c\mid d$. 那么称 $d$ 是 $a,b$ 的一个最大公因子.
🧾性质 12
若 $d_1,d_2$ 是 $a$ 与 $b$ 的最大公因子, 那么从定义 \ref{最大公因子} 得出, $d_1\sim d_2$. 反之, 若 $d_1$ 是 $a,b$ 的\hr{最大公因子}, 且 $d_1\sim d_2$, 则 $d_2$ 也是 $a$ 与 $b$ 的一个最大公因子. 记作 $(a,b)$.
💡命题 13
在\hr{整环} $R$ 中, 如果每一对元素都有\hr{最大公因子}, 那么对任意 $a,b,c\in R$, 有 $(ca,cb)\sim c(a,b)$.
欧几里得整环, 主理想整环, 唯一因子分解整环
📝定义 14
设 $R$ 为\hr{整环}, 如果存在 $R^*\ (R^*=R\backslash\{0\})$ 到 $\mathbb{N}$ 的一个映射 $\delta$, 使得对任意 $a,b\in R\wedge b\neq 0$, 都有 $h,r\in R$ 满足
$$
a=hb+r,\quad r=0\ \t{或}\ r\neq0\ \t{且}\ \delta(r)<\delta(b),
$$
那么称 $R$ 是一个欧几里得整环.
💡定理 15
\hr{欧几里得整环} $R$ 的每一个\hr{理想}都是\hr{主理想}.
📝定义 16
设 $R$ 为\hr{整环}, 如果 $R$ 的每一个\hr{理想}都是\hr{主理想}, 那么称 $R$ 是一个主理想整环.
💡定理 17
设 $R$ 是\hr{主理想整环}, 则
$$
a\ \t{是}\hr{不可约元}\Leftrightarrow (a) \t{ 是非零}\hr{极大理想}.
$$
💡推论 18
设 $R$ 是\hr{主理想整环}, 则 $R$ 的\hr{不可约元} $a$ 一定是\hr{素元}.
📝定义 19
\hr{整环}
$R$ 如果满足下列两个条件:
[leftmargin=1.5cm]
- (1)
$R$ 中每个非零且不可逆的元素
$a$ 可以分解成有限多个\hr{不可约元}的乘积
$$
a=p_1p_2\cdots p_s;
$$
- (2) 上述分解在\hr{相伴}的意义下是唯一的, 即如果
$a$ 有两个这样的分解式:
$$
a=p_1p_2\cdots p_s=q_1q_2\cdots q_t
$$
那么
$s=t$, 并且可以通过适当的调换位置使得
$p_i\sim q_i$.
那么称 $R$ 是一个唯一因子分解整环或者高斯整环.
💡定理 20
\hr{整环}
$R$ 如果满足下列两个条件:
[leftmargin=1.5cm]
- (1)
因子链条件: 在\hr{整环}
$R$ 中, 如果序列
$a_1,a_2,a_3,\ldots$ 中, 每一个
$a_i$ 是
$a_{i-1}$ 的\hr{真因子}, 那么这个序列是有限序列.
- (2) 每一个\hr{不可约元}都是\hr{素元}.
那么称 $R$ 是\hr{唯一因子分解整环}.
💡命题 21
设 $R$ 是\hr{整环}, 如果 $R$ 的每一对元素都有最大公因子, 那么 $R$ 的每一个不可约元都是\hr{素元}.
基于上述命题, 我们可以将定理 \ref{整环的整除性定理4} 中的条件 $2$ 进行替换.
💡定理 22
若 $R$ 是\hr{唯一因子分解整环}, 则 $R$ 的每一对元素都有最大公因子.
💡定理 23
\hr{主理想整环}都是\hr{唯一因子分解整环}.
📝定义 24
设 $R$ 是\hr{唯一因子分解整环}, 任给 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in R[x]$. 用 $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ 表示 $a_0,a_1,\ldots,a_n$ 的最大公因子. 如果有 $(a_0,a_1,\ldots,a_n)\sim 1$, 那么称 $f$ 是一个本原多项式.
💡命题 25
$R[x]$ 中的\hr{可逆元}只能是 $0$ 次多项式, 且是 $R$ 的\hr{可逆元}. 反之, $R$ 的\hr{可逆元}也是 $R[x]$ 的\hr{可逆元}. 根据定义, $R[x]$ 的\hr{可逆元}是零次\hr{本原多项式}.
💡命题 26
若
$p(x)$ 是
$R[x]$ 中的一个\hr{不可约元}, 则
$p(x)\neq 0$,
$p(x)$ 不是
$R$ 的\hr{可逆元}, 并且
$p(x)$ 的因式只有
$R$ 的\hr{可逆元}和
$p(x)$ 的\hr{相伴元}. 从而
$p(x)$ 要么是
$R$ 的一个\hr{不可约元}, 要么是一个次数大于
$0$ 的\hr{不可约}的\hr{本原多项式}.
反之, $R[x]$ 的一个\hr{不可约}的\hr{本原多项式}是 $R[x]$ 的一个\hr{不可约元}.
💡引理 27
设 $R$ 是\hr{唯一因子分解整环}, 则 $R[x]$ 中任一非零多项式 $f(x)$ 可以写成
$$
f(x)=df_1(x),
$$
其中 $d\in R$ 且 $d\neq 0$, $f_1(x)$ 是一个\hr{本原多项式}, 并且 $d$ 和 $f_1(x)$ 在\hr{相伴}的意义下由 $f(x)$ 唯一确定.
💡引理 28 高斯引理
设 $R$ 是\hr{唯一因子分解整环}, 则 $R[x]$ 中两个\hr{本原多项式}的乘积还是\hr{本原多项式}.
💡引理 29
设 $R$ 是\hr{唯一因子分解整环}, $F$ 是 $R$ 的\hr{分式域}, 则 $R[x]$ 中两个\hr{本原多项式} $g(x)$ 与 $f(x)$ 在 $F[x]$ 中\hr{相伴}当且仅当 $g(x)$ 与 $h(x)$ 在 $R[x]$ 中\hr{相伴}.
💡引理 30
诺特环
📝定义 31
设 $R$ 是一个交换环, 如果 $R$ 的每一条理想升链
$$
I_1\subsetneqq I_2\subsetneqq I_3\subsetneqq\cdots
$$
都有限, 那么称 $R$ 满足理想升链条件, 此时称 $R$ 是一个诺特环 (Noether ring).
💡推论 32
\hr{主理想整环}都是\hr{诺特环}.
📝证明
因为\hr{主理想整环}都是\hr{唯一因子分解整环}, 则对于该环的每一个\hr{理想升链}, 取其中每个主理想的代表元, 就构成了一个因子链, 从而是有限的.
💡定理 33
设 $R$ 是一个交换环, 则 $R$ 是\hr{诺特环}当且仅当 $R$ 的每一个\hr{理想}都是有限生成的.
💡定理 34 希尔伯特 (Hilbert) 基定理
如果 $R$ 是一个有单位元 $1(\neq 0)$ 的\hr{诺特环}, 那么 $R$ 上的一元多项式环 $R[x]$ 也是\hr{诺特环}.
💡推论 35
如果 $R$ 是有幺元的\hr{诺特环}, 那么 $R$ 上的 $n$ 元多项式环 $R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 也是\hr{诺特环}.
📝证明
考虑 $R[x_1,x_2]$ 可以视作 $R[x_1]$ 上的一元多项式环 $R[x_1][x_2]$, 从而利用归纳法可知 $n$ 元多项式环也是诺特环.
💡命题 36
域 $F$ 是\hr{诺特环}, 因为 $F$ 只有平凡的理想, 从而 $F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 是\hr{诺特环}. 因此 $F[x_1,x_2\ldots,x_n]$ 的每个理想都是有限生成的.