往年期末

注 1

张强题目格式较为固定, 分析往年题即可.

孙剑课后原题较多, 多做习题.

2020 级强基数学抽象代数期末考试(回忆版, 张强)

题目1

(选择/填空) - 1. 以下哪个阶数的群可以是交换单群?

$\t A. 5\hfil \t B.8\hfil \t C.12\hfil\t D.99$ - 2. $225$ 阶群的 \Sy[$5$] 的阶数为____. - 3. 以下不是单群的是:

$\t A. S_5\hfil \t B.D_5\hfil C.A_5\hfil D.\t{忘了}$

题目2

给出整数加群 $(\Z,+)$ 的所有子群并说明同构关系.

题目3

给出整数环 $(\Z,+,\cdot)$ 的所有理想, 设 $I,J$ 是整数环的两个理想, 计算它们的和、交以及乘积.

题目4

证明整数加群 $(\Z,+)$ 是整数环 $(\Z,+,\cdot)$ 上的一个模, 并给出它的所有子模.

题目5

叙述中国剩余定理, 并给出如下同余方程的解: $$\begin{cases} x\equiv 1 & \bmod\ 3,\\ x\equiv 2 & \bmod\ 5,\\ x\equiv 3 & \bmod\ 7. \end{cases}$$

题目 6

设 $G$ 是 $2022$ 阶群. - (1) $G$ 是单群吗? - (2) $G$ 是可解群吗? - (3) 如果 $G$ 可交换, 证明它是循环群.

题目 7

设群 $G$ 作用在集合 $\Omega$ 上, 且 $G$ 包含一个子群 $N$, 它在 $\Omega$ 上的作用传递. 证明: $G=G_\alpha N,\ \forall \alpha\in \Omega$, 其中 $G_\alpha$ 是 $\alpha$ 的稳定子群.

题目 8

构造一个 $4$ 个元素的域, 并写出其中的加法和乘法.

题目 9

叙述理想互素的定义并证明任意两个不同的极大理想一定是互素的.

参考解答

涉及概念: \hr{单群},\hyperref[Sylow1]{Sylow 群},\hr{可解群},\hr{理想},\hr{模},\hr{理想的互素}, \hr{极大理想}, \hr{域扩张}, \hr{齐性空间}, \hr{中国剩余定理}.

题目1

{{< admonition note "答案" false >}}\ - 1. 交换\hr{单群}, 要求可交换且只有平凡\hr{正规子群}. 根据定理 \ref{Abel单群}, 只能是素数阶循环群, 所以选 \t A. - 2. $25$ 阶. - 3. 由 $A_5\lhd S_5$ 故 $\t A. S_5$ 不是单群.

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题目2

答案

所有子群: $m\Z,\ m\in \Z_{\geqslant0}$.

当 $m\neq 0$ 时, $m\Z$ 是无限阶循环群, 生成元为 $m$, 所以有 $m\Z\cong \Z$.

可取映射 $\sigma:\Z\to m\Z,\ a\mapsto ma$.

故所有不为单位元集 $(\{0\})$ 的子群都与 $\Z$ 同构.

题目 3

答案

整数环的理想: $(m),\quad m\in \Z_{\geqslant 0}$.

设 $I=(n),J=(m)$.

$I+J=((n,m))$, 其中 $(n,m)$ 表示 $n,m$ 的最大公约数.

$I\cap J=([n,m])$, 其中 $[n,m]$ 表示 $n,m$ 的最小公倍数.

$IJ=(nm)$.

题目 4

答案

按照\hr{模}的定义验证即可.

所有子模 $(m\Z,+)$.

题目 5

答案

叙述参照定理 \ref{中国剩余定理}.

$x=52+105k,\quad k\in \Z$.

题目 6

{{< admonition note "答案" false >}}\ 首先有 $2022=2\times 3\times 337$. - (1) 不是, 对于 $p=337$, \Sy[337] 的个数 $r$ 满足, $r\equiv 1(\bmod 337),r\mid 6$, 从而 $r=1$. 根据推论 \ref{coro:Sylow1} 可知 \Sy[337] 是 $G$ 的正规子群. - (2) 是, 对于 $6$ 阶群, 考虑 \Sy[3] 子群的个数只能为 $1$ 个, 从而 \Sy[3] 子群是 $6$ 阶群的正规子群, 从而 $6$ 阶群可解, 进而有 $G_{337}$ 可解, $G/G_{337}$ 为 $6$ 阶群可解, 从而 $G$ 可解. - (3) 由 $2022=2\times 3\times 337$ 及定理 \ref{有限Abel群} 可知, $G\cong (\Z_2,+)\oplus(\Z_3,+)\oplus(\Z_{337},+)\cong(\Z_{2022},+)$ 从而 $G$ 是循环群.

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题目 7

证明

显然有 $G_\alpha N\subseteq G$. 下证 $G\subseteq G_\alpha N$.

$\forall g\in G$, 设 $g\circ \alpha = \beta$,

由于 $N$ 在 $\Omega$ 上的作用传递, 从而 $\exists\ n\in N$, 满足 $\beta=n\circ \alpha$. 又 $N<G\Leftrightarrow n^{-1}\in N$, 考虑 $n^{-1}$ 引出的双射, $n^{-1}\circ(g\circ \alpha)=n^{-1}\circ \beta=n^{-1}\circ(n\circ \alpha)$.

又根据作用的结合律, 得到 $(n^{-1}g)\circ \alpha=\alpha$, 从而 $n^{-1}g\in G_\alpha$, 即 $\exists b\in G_\alpha,\ s.t. n^{-1}g=b\Leftrightarrow\ g=nb\in NG_\alpha$.

最后由于, $N,G_\alpha,NG_\alpha=G$ 都是 $G$ 的子群, 根据习题 \ref{prac:子群} 中题目 \ref{prac:子群1},可知 $G_\alpha N=N G_\alpha$.

所以有 $G=G_\alpha N$.

题目 8

答案

参照例 \ref{四元域}.

题目 9

叙述参照定义 \ref{理想的互素}.

证明

首先有 $I+J$ 是理想, 若 $I,J$ 不互素, 则有 $I+J\neq R$, 又有 $I\subseteq I+J$, 这与 $I$ 是极大理想矛盾, 从而 $I,J$ 互素.

2021 级强基数学抽象代数期末考试(回忆版, 张强)

题目 1

(选择与填空) - 1. 下面那个数字可以作为交换单群的阶?

$\t A.2\hfil \t B. 8\hfil\t C. 15\hfil \t D.2022$ - 2. 下面哪个 $n$ 会使得 $S_n$ 不可解?

$\t A.1\hfil \t B. 3\hfil\t C. 4\hfil \t D.2022$ - 3. $8$ 阶群有____种不同构的表示. - 4. 正四面体群的阶数是____.

题目 2

设 $A=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\}$, 为实数域上所有连续函数组成的集合. - (1) $A$ 中函数的加法与乘法是否构成环? - (2) 设 $I=\{f\in A:f(1)=0\ \t{或}\ f(2)=0\}$, 那么 $I$ 是否构成环 $A$ 的一个理想. - (3) 设 $I=\{f\in A:f(1)=0\}$, 那么 $I$ 是否构成环 $A$ 的一个极大理想. - (4) $A$ 是否为主理想整环.

题目 3

1. 给出自由模的定义, 并举一个简单的例子.
1. 自由模的子模是否也为自由模.

题目 4

求 $\overline{4}$ 在 $\Z_{85}$ 中的平方根.

题目 5

1. 构造一个 $27$ 元域, 并说明其加法与乘法.
1. 写出所构造的域的所有理想.

题目 6

设 $G$ 是 $2023$ 阶群. - (1) $G$ 是单群吗? - (2) $G$ 是可解群吗? - (3) 如果 $G$ 可交换, 求其所有同构类型.

题目 7

1. 写出环的单位群的概念.
1. 写出 $M_2(\Z_2)$ 的单位群的同构类型.

参考解答

涉及定义: \hr{单群}, \hr{可解群}, \hr{单位群}, \hr{理想}, \hr{自由模}, \hr{单位群}, \hr{主理想整环}, \hr{中国剩余定理}, \hyperref[Sylow3]{Sylow 第三定理}.

题目 1

{{< admonition note "答案" false >}}\ - 1. $\t A.2$, 有限交换单群一定是素数阶循环群. - 2. $\t D.2022$, 当 $n\geqslant 5$ 时, $S_n'=A_n,A_n'=A_n$. - 3. 一共有 $5$ 种, 分别为 $(\Z_8,+),(\Z_4,+)\oplus(\Z_2,+),(\Z_2,+)\oplus(\Z_2,+)\oplus(\Z_2,+),D_4,Q$. - 4. $12$ 阶, $1+3+8$.

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题目 2

{{< admonition note "答案" false >}}\ - (1) 构成环.

$\forall f,g\in A$, 函数的加法和乘法满足加法交换律, 乘法结合律, 乘法分配律. 且存在负元 $-f$, 零元 $0$.

$f+g,\ fg$ 也为连续函数, 故对加法和乘法封闭. - (2) 构成一个理想.

$\forall g\in A,f\in I,\ f(1)=0$, $(gf)(1)=g(1)f(1)=g(1)\times 0=0,\ (fg)(1)=f(1)g(1)=0\times g(1)=0$, 从而 $fg,gf\in I$. 若 $f(2)=0$ 同理.

综上 $I$ 是 $A$ 的理想. - (3) 不是极大理想. 类似上一问, 我们可以证明 $I$ 是理想, 并记上问中理想为 $J$, 显然有 $I\subseteq J$, 又对于函数 $f(x)=x\notin J$, 从而 $J\neq A$, 所以 $I$ 不是极大理想. - (4) 不是主理想整环.

对于第三问中的理想, $x-1,e^x-e$ 都是该理想的元素, 而这两个函数显然不能由彼此有限表示, 从而该理想不是主理想, 进而环 $A$ 不是主理想整环.

也可以通过说明 $A$ 有零因子, 从而不是整环.

例如取连续函数 $$f(x)=\begin{cases} x & x\in (0,1], \\ 2-x & x\in (1,2], \\ 0 & \t {otherwise}. \end{cases},\quad g(x)=\begin{cases} x-2 & x\in (2,3], \\ 4-x & x\in (3,4], \\ 0 & \t {otherwise}. \end{cases}$$

显然有 $f(x)g(x)=0$. 故存在零因子. 不是整环.

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题目 3

答案

- 1. 自由模的定义: 对于模 $M$, 存在 $M$ 的子集 $S$, 满足 - (1) 对于 $M$ 中的任意元素, 可以由 $S$ 中有限个元素的线性组合表示, 形如 $$ x=r_1\alpha_{i_1}+r_2\alpha_{i_2}+\cdots+r_m\alpha_{i_m} $$ - (2) 对于 $S$ 的任意有限子集 $S_1$, $S_1$ 中元素, 在 $R$ 中线性无关, 即由 $$ r_1\alpha_1+r_2\alpha_2+\cdots+r_t\alpha_t=0 $$ 可推出 $r_1=r_2=\cdots=r_t=0$.

则称 $S$ 是 $M$ 的基, $M$ 是自由模.

简单例子, $(\Z_6,+)$ 是 $(\Z_6,+,\cdot)$ 上的自由模. - 2. 自由模的子模不一定是自由模.

同上题例子, 取子模 $2\Z_6=\{0,2,4\}$, 该子模中任一元素在 $\Z_6$ 中线性相关, 即均不能作为基中元素, 从而该子模不是自由模.

题目 4

答案

由 $\Z_{85}\cong \Z_{5}\oplus\Z_{17}$.

考虑映射 $$\begin{aligned} \sigma: \Z_{85}&\to&\Z_5\oplus\Z_{17}\\ n&\mapsto&(n\%5,n\%17) \end{aligned}$$ 是双射, 从而 $\Z_{85}$ 中 $4$ 的平方根, 对应的元素在 $\Z_5$ 和 $\Z_{17}$ 中也为平方根.

$\overline{4}$ 在 $\Z_{5}$ 中的平方根为 $2,3$.

$\overline{4}$ 在 $\Z_{17}$ 中的平方根为 $2,15$.

接下来使用中国剩余定理, 解如下四个同余方程.

$$\begin{aligned} \begin{cases} x\equiv 2 & (\bmod\ 5) \\ x\equiv 2 & (\bmod\ 17) \end{cases} & \begin{cases} x\equiv 2 & (\bmod\ 5) \\ x\equiv 15 & (\bmod\ 17) \end{cases} \ $$ 25pt] \begin{cases} x\equiv 3 & (\bmod\ 5) \\ x\equiv 2 & (\bmod\ 17) \end{cases} & \begin{cases} x\equiv 3 & (\bmod\ 5) \\ x\equiv 15 & (\bmod\ 17) \end{cases} \end{aligned}$$

综上, $\overline{4}$ 的平方根为 $\overline{2},\overline{32},\overline{53},\overline{83}$.

题目 5

{{< admonition note "答案" false >}}\ - (1) 在 $\Z_3[x]$ 中取二次不可约多项式 $m(x)=x^3+2x+1$.

那么 $\Z_3[x]/(m(x))$ 是一个 $27$ 元域. 设 $u=x+(m(x))$, 那么该域的元素形如 $c_0+c_1u+c_2u^2,\ c_0,c_1,c_2\in\Z_3$.

其运算法则与正常 $\Z_3[x]$ 上的多项式运算法则相似, 差别在于需要用 $u^3=u+2$ 将多项式的次数降至 $2$ 次及以下. - (2) 域只有平凡的理想 $\{0\},\Z_3[x]/(x^3+2x+1)$.

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题目 6

答案

$2023=7\times 17^2$.

考虑 \Sy[17] 根据, \t{Sylow} 第三定理, 该子群个数 $r$ 满足 $$ r\equiv 1\ (\bmod\ 17)\wedge r\mid 7 $$ 从而 $r=1$, \Sy[17] 是正规子群. - (1) $2023$ 阶群有非平凡正规子群, 从而不是单群. - (2) 由于 $p$-群可解, $G_{2023}/G_{289},G_{289}$ 均可解, 从而 $2023$ 阶群可解. - (3) 有限 \Abel 群的同构类型.

$(\Z_7,+)\oplus(\Z_{289},+),(\Z_7,+)\oplus(\Z_{17},+)\oplus(\Z_{17},+)$.

题目 7

{{< admonition note "答案" false >}}\ - (1) 环上所有对乘法可逆的元素所构成的子集称为环的单位群. (可逆元也称单位). - (2) $M_2(\Z_2)$ 中可逆的元素有

$\left(\begin{aligned}1 & 0\0 & 1\end{aligned}\right), \left(\begin{aligned}0 & 1\1 & 0\end{aligned}\right), \left(\begin{aligned}1 & 0\1 & 1\end{aligned}\right), \left(\begin{aligned}1 & 1\0 & 1\end{aligned}\right), \left(\begin{aligned}0 & 1\1 & 1\end{aligned}\right), \left(\begin{aligned}1 & 1\1 & 0\end{aligned}\right). $ 即 $M_2(\Z_2)$ 的单位群是 $6$ 阶群.

而 $2p$ 阶群要么是循环群, 要么同构于 $D_p$.

由 $\left(\begin{aligned}1 & 0\\1 & 1\end{aligned}\right)\left(\begin{aligned}1 & 1\\0 & 1\end{aligned}\right)= \left(\begin{aligned}1 & 1\\1 & 0\end{aligned}\right)$, $\left(\begin{aligned}1 & 1\\0 & 1\end{aligned}\right)\left(\begin{aligned}1 & 0\\1 & 1\end{aligned}\right)= \left(\begin{aligned}0 & 1\\1 & 1\end{aligned}\right)$.

可知该群不是循环群, 从而该单位群同构于 $D_3$.

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2022 级数试抽象代数期末考试(回忆版, 张强)

题目 1

(不定项选择) - 1. 下面哪些可以作为交换单群的阶数?

$\t A.2\hfil \t B. 3\hfil\t C. 24\hfil \t D.25$ - 2. 下面哪些群是可解群?

选项丢失.jpg - 3. 下面哪个环与其它环不同构?

$\t A.\Z\hfil \t B. 2\Z\hfil\t C. 3\Z\hfil \t D.\Z_p$ - 4. 下面哪些阶数的群一定不是单群?

$\t A.4\hfil \t B. 5\hfil\t C. 72\hfil \t D.73$

题目 2

(1) 写出整数环的所有子环.
(2) 写出整数环的全部理想, 及理想间的和、交以及乘积.
(3) 极大理想的定义, 及整数环的全部极大理想.

题目 3

(1) 构造一个 $9$ 元域, 并写出元素的运算.
(2) 写出该域的全部理想.

题目 4

写出 $f(x)=x^4-3$ 的分裂域及一组基.

题目 5

模的定义是什么? 自由模的子模是自由模吗? 为什么?

题目 6

$S_3$ 和 $D_3$ 是否同构? 为什么?

题目 7

$385$ 阶 $G$ 群有一个指数为 $5$ 的子群 $H$, 证明 $H\lhd G$.

题目 8

设 $G$ 是 $2024$ 阶群. - (1) $G$ 是单群吗? - (2) $G$ 是可解群吗?

参考解答

题目 1

{{< admonition note "答案" false >}}\ - 1. $\t A.2,\t B.3$. - 3. $\t D.\Z_p$. - 4. $\t A.4,\t C.72$.

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题目 2

{{< admonition note "答案" false >}}\ - (1) 子环: $m\Z$. - (2) 理想: $(m)$.

设 $I=(n),J=(m)$.

$I+J=((n,m))$, 其中 $(n,m)$ 表示 $n,m$ 的最大公约数.

$I\cap J=([n,m])$, 其中 $[n,m]$ 表示 $n,m$ 的最小公倍数.

$IJ=(nm)$. - (3) 定义 \ref{极大理想}.

整数环的全部极大理想是所有素理想 $(p)$, $p$ 为素数.

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题目 3

{{< admonition note "答案" false >}}\ - (1) 在 $\Z_3[x]$ 中取二次不可约多项式 $m(x)=x^2+1$.

那么 $\Z_3[x]/(m(x))$ 是一个 $9$ 元域. 设 $u=x+(m(x))$, 那么该域的元素形如 $c_0+c_1x,\ c_0,c_1\in\Z_3$.

其运算法则与正常 $\Z_3[x]$ 上的多项式运算法则相似, 差别在于需要用 $u^2=\overline{2}$ 将多项式的次数降至 $1$ 次及以下. - (2) 域只有平凡的理想 $\{0\},\Z_3[x]/(x^2+1)$.

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题目 4

2023 级强基没讲第四章, 不会.

题目 5

同上套期末第 3 题.

题目 6

答案

同构, $2p$ 阶群或者为循环群, 或者同构于 $D_p$. 从而 $S_3\cong D_3$.

题目 7

参考习题 \ref{prac:群作用} 题目 \ref{prac:群作用2}.

题目 8

答案

$2024=2^3\times11\times23$.

考虑 \Sy[23] 根据, \t{Sylow} 第三定理, 该子群个数 $r$ 满足 $$ r\equiv 1\ (\bmod\ 23)\wedge r\mid 88 $$ 从而 $r=1$, \Sy[23] 是正规子群. - (1) $2024$ 阶群有非平凡正规子群, 从而不是单群. - (2) 类似上述讨论, 可以同样证明, 对于 $88$ 阶群, \Sy[11] 是其正规子群, 从而 $G_{88}/G_{11},G_{8}$ 都是 $p$-群可解.

进而 $G_{2024}/G_{23},G_{23}$ 均可解, 从而 $2024$ 阶群可解.

2022 级强基数学抽象代数期末考试(非张强)## 2023 级强基数学抽象代数期末考试(张强)

题目 1

(不定项选择题) - 1. $8$ 阶群有几种同构类型?

$\t A.1\hfil \t B. 4\hfil\t C. 5\hfil \t D.8$ - 2. 以下哪个 $n$ 会使对称群 $S_n$ 不可解?

$\t A.2\hfil \t B. 4\hfil\t C. 5\hfil \t D.2025$ - 3. 以下哪个群一定不是单群?

$\t A.\t{交换群}\ A_{2025}\hfil \t B. 2025\ \t{阶群}\hfil\t C. 11\ \t{阶群}\hfil \t D.22\ \t{阶群}$ - 4. 整数环上的一元多项式环 $\Z[x]$ 是以下哪几种环?

$\t A.\t{欧几里得整环}\hfil \t B. \t{主理想整环}\hfil\t C. \t{唯一因子分解整环}\hfil \t D.\t{高斯整环}$

题目 2

(1) 写出整数加群上的所有正规子群, 并给出其同构类型.
(2) 写出整数环上的所有理想, 并写出理想的交、和.
(3) 素理想是什么? 写出整数环的所有素理想.
(4) 极大理想是什么? 写出整数环的所有极大理想.

题目 3

写出域的定义. 存在 $9$ 元域吗? 为什么?

题目 4

写出模的定义. 自由模的子模是否自由? 为什么?

题目 5

置换群 $S_n\ (n>2)$ 至少由几个元素生成? 为什么?

题目 6

二面体群是什么? 是否存在群既是二面体群又是对称群? 为什么?

题目 7

设 $G$ 为一个有限群, $p$ 为 $|G|$ 的最小素因子. 证明: 指数为 $p$ 的子群必为正规子群.

题目 8

设 $G$ 为 $2024$ 阶群. - (1) 若 $G$ 可交换, 给出其同构类. - (2) $G$ 是可解群吗? 为什么?

参考解答

题目 1

1. C. 5.
1. C. 5, D. 2025.
1. B. 2025 阶群, D. 12 阶群. 2025 阶群可参考 \hyperref[sec:2025]{1.9$\varepsilon$ 2025 阶群}
1. C. 唯一因子分解整环, D. 高斯整环. PS: md, 这俩是同一个东西.

题目 2

{{< admonition note "答案" false >}}\ - (1) $m\Z$ - (2) $(m)$ - (3) $(0),(p)$ - (4) $(p)$

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题目 3

答案

在 $\Z_3[x]$ 上的不可约多项式 $x^2+1$, 那么 $\Z[x]/(x^2+1)$ 是 $9$ 元域.

题目 4

反例见自由模的习题 1.

题目 5

至少由两个元素生成 $\langle (12),(12\cdots n)\rangle$.

题目 6

$S_3\cong D_3$ 因为是 $2p$ 阶群.

题目 7

见书本习题 1.8/28.

题目 8

同去年习题.