Sylow 定理
💡引理 1.2.1
设 $n=p^lm$, 其中 $(m,p)=1$, $p$ 是素数, 则对 $1\leqslant k\leqslant l$, 有
$$
p^{l-k}|C_n^{p^k},\quad p^{l-k+1}\nmid C_n^{p^k}.
$$
💡定理 1.2.2 \t{Sylow} 第一定理
设群 $G$ 的阶 $n=p^lm$, 其中 $p$ 为素数, $(m,p)=1,\ l>0$, 则对 $1\leqslant k\leqslant l$, $G$ 中必有 $p^k$ 阶子群, 其中 $p^l$ 阶子群(即 $p$ 的最高方幂阶子群)称为 $G$ 的 \t{Sylow} $p$-子群.
📝证明
设集合
$\Omega$ 中的元素形如:
$$
A={a_1,a_2,\ldots,a_{p^k}},\quad \text{其中}\ a_i\in G.
$$
对于
$g\in G$, 令
$$
g\circ A:={ga_1,ga_2,\ldots,ga_{p^k}}.
$$
容易验证这是
$G$ 在
$\Omega$ 上的作用.
我们取 $\Omega$ 的 $G$-轨道完全代表系 $\{A_i\}$, 从而 $|\Omega| = \sum\limits_{i=1}^r |G(A_i)|$.
由引理可知, $p^{l-k+1} \nmid |\Omega|$. 于是至少存在一个 $i$ 满足 $p^{l-k+1}\nmid |G(A_i)|$.
根据轨道稳定子定理 $|G| = |G(A_i)||G_{A_i}|$. 由 $p^l$ 恰好整除 $|G|$, 所以 $|G_{A_i}|$ 含有的 $p$ 因子至少为 $k$ 阶. 即
$$
|G_{A_i}|=p^kq\geqslant p^k.
$$
另一方面, 对于任意 $g\in G_{A_i}$, 有 $g\circ A_i = A_i$. 于是对于 $a\in A_i$, 有 $ga \in A_i$.
从而
$$
G_{A_i}a={ga|g\in G_{A_i}}\subseteq A_i.
$$
因此
$$
|G_{A_i}| = |G_{A_i}a|\leqslant|A_i| = p^k.
$$
综上, $|G_{A_i}| = p^k$. 从而 $G_{A_j}$ 就是 $G$ 的一个 $p^k$ 阶子群.
💡定理 1.2.3 \t{Sylow} 第二定理
设群
$G$ 的阶
$n=p^lm$, 其中
$p$ 为素数,
$(m,p)=1,l>0$, 则
- (1) 对于
$1\leqslant k \leqslant l$,
$G$ 的任一
$p^k$ 阶子群一定包含于
$G$ 的某个
$\t{Sylow}$ $p$-子群中;
- (2)
$G$ 的任意两个 \Sy 在
$G$ 中共轭.
💡推论 1.2.4
有限群 $G$ 的 \Sy 是正规子群, 当且仅当 $G$ 的 \Sy 的个数为 $1$.
💡定理 1.2.5 \t{Sylow} 第三定理
设群 $G$ 的阶 $n=p^lm$, 其中 $p$ 为素数, $(m,p)=1,l>0$, 则 $G$ 的\Sy 的个数 $r$ 满足
$$
r\equiv 1(\bmod\ p),\quad \t{且}\ r\mid m.
$$
💡推论 1.2.6
$2p$ 阶群或者是循环群, 或者同构于二面体群 $D_p$.
📝定义 1.2.7
形如 $a+b\t i+c\t j+d\t k$, 且满足 $a,b,c,d \in \mathbb{R},$
$$
\t i^2=\t j^2=\t k^2=-1,\quad \t i\t j=-\t j\t i=\t k,\quad \t j\t k=- \t k\t j=i,\quad \t k\t i=-\t i\t k=\t j,
$$
称为四元数.
📝定义 1.2.8
称 $Q=\{\pm\ 1,\pm\ \t i,\pm\ \t j,\pm\ \t k\}$ 为四元数群, 容易验证 $Q$ 对于上述乘法构成一个群.
❓练习 1.2.9
题目
证明: $p$-群都可解.
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设群 $G$ 的阶为 $p^\alpha$.
根据 \t{Sylow} 第一定理, $G$ 有 $p^{\alpha-1}$ 阶子群, 根据习题 \ref{prac:群作用} 题目 \ref{prac:群作用2} 可知 $p^{\alpha-1}$ 阶群是正规子群.
从而存在 $G_1$ 满足 $G\rhd G_1$, 且 $G/G_1$ 是素数阶循环群.
如此反复, 我们可以取出 $G\rhd G_1\rhd G_2\rhd\cdots\rhd G_{\alpha}=\{e\}$. 因此 $p$-群可解.