群的同态,正规子群,商群,群同态进本定理

群的同态, 正规子群, 商群, 群同态基本定理

定义 1.10.1 群同态

若群 $G$ 到群 $\widetilde{G}$ 有一个映射 $\sigma$, 使得 $$ \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b),\quad\forall a,b\in G. $$ 则称 $\sigma$ 是同态.

性质 1.10.2

- (1) $\sigma(e)=\widetilde{e}$. - (2) $\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}$. - (3) 若 $H<G$, 则 $\sigma(H)<\widetilde{G}$. - (4) $|\sigma(a)|\big||a|$.

定义 1.10.3

$\Ker\sigma:=\{a\in G|\sigma(a)=\widetilde{e}\}$, 称为 $\sigma$ 的核.

命题 1.10.4

设 $\sigma$ 是群同态, 则 $\forall a\in G$, 有 $$ a(\Ker\sigma)=(\Ker\sigma)a. $$

定义 1.10.5

如果群 $G$ 的子群 $H$ 满足: $\forall a\in G$, 有 $$ aH=Ha. $$ 那么称 $H$ 是 $G$ 的正规子群, 记作 $H\lhd G$.

特别地, $\{e\}$ 和 $G$ 称为 $G$ 的平凡正规子群.

命题 1.10.6

群同态的核 $\Ker\sigma$ 是 $G$ 的正规子群.

命题 1.10.7

群 $G$ 的子群 $H$ 是正规子群当且仅当 $$ aHa^{-1}=H,\quad\forall a\in G. $$

定义 1.10.8

设 $H$ 是 $G$ 的子群, 任取 $a\in G$, $aHa^{-1}$ 也是 $G$ 的子群, 称之为 $H$ 的共轭子群.

命题 1.10.9

$H\lhd G\Leftrightarrow\ \forall\ a\in G,h\in H,\ aha^{-1}\in H$

定义 1.10.10

当 $N\lhd G$ 时, 有 $(G/N)_l=(G/N)_r$, 此时记作 $(G/N)$. 并在其上定义乘法 $(aN)(bN)=abN$. 可以验证, 在这个运算下 $(G/N)$ 构成群, 并称之为商群.

注 1.10.11

如果 $H$ 不是 $G$ 的正规子群, 那么考虑 $G$ 到左商集 $(G/H)_l$ 上的映射 $\sigma:a\mapsto aH$ 不是群同态, 因为 $(G/H)_l$ 甚至不是群.

命题 1.10.12

设 $G$ 为\tr{有限群}, $N\lhd G$, 则 $|G/N|=\dfrac{|G|}{|N|}.$

定理 1.10.13 群同态基本定理

设 $\sigma$ 是群 $G$ 到 $\widetilde{G}$ 的一个同态, 则 $\Ker\sigma$ 是 $G$ 的一个正规子群, 且 $$ G/\Ker\sigma\cong\tIm\sigma. $$

定理 1.10.14 第一群同构定理

设 $G$ 是一个群, $H<G,N\lhd G$, 则 - (1) $HN<G$; - (2) $H\cap N\lhd H,\ H/(H\cap N)\cong (HN)/N$.

定理 1.10.15 第二群同构定理

设 $G$ 是一个群, $N\lhd G$, $H$ 是 $G$ 的包含 $N$ 的\hr{正规子群}, 则 $H/N\lhd G/N$, 且 $$ (G/N)/(H/N)\cong G/H. $$