循环群
📝定义 1.7.1
设 $G$ 是一个群, 如果 $G$ 的每一个元素都能写成 $G$ 的某个元素 $a$ 的整数次幂的形式, 那么称 $G$ 为循环群, 称 $a$ 是 $G$ 的一个生成元, 并记 $G=\langle a\rangle$.
📝定义 1.7.2
对于群 $G$ 中元素 $a$, 如果存在最小的正整数 $n$, 使得 $a^n=e$. 则称 $a$ 的阶为 $n$, 记作 $|a|=n$. 如果不存在这样的 $n$, 则称 $a$ 是无限阶元素.
💡命题 1.7.3
有限群 $G$ 是循环群, 当且仅当 $\exists\ a\in G,\ s.t.\ |a| = |G|$.
💡命题 1.7.4
设 $a\in G,\ |a|=n$ 则
$$
a^m = e\Leftrightarrow n\mid m.
$$
💡命题 1.7.5
设 $a\in G,\ |a|=n$ 则
$$
|a^k|=\frac n {(n,k)}.
$$
💡命题 1.7.6
若 $a,b\in G,\ ab=ba,\ |a|=n,|b|=m, (n,m)=1$ 则 $|ab|=nm$.
💡命题 1.7.7
设 $G$ 是\lAbel 群, 则 $\exists\ a\in G,\ s.t.\ \forall b \in G,|b|\big| |a|$.
💡定理 1.7.8
设 $m$ 是大于 $1$ 的整数, 则 $\Z_m^*$ 为循环群当且仅当 $m$ 为下列情形之一:
$$
2,\ 4,\ p^r,\ 2p^r,\quad \t{其中}\ p\ \t{是奇素数},\ r\in\mathbb{N}^*
$$
💡定理 1.7.9
有限域 $F$ 的所有非零元组成的集合 $F^*$ 对于乘法构成群, 且是循环群.
📝定义 1.7.10
群同构
💡命题 1.7.11
设
$\sigma$ 是
$G$ 到
$\widetilde{G}$ 的一个\hr{群同构映射}, 则
[leftmargin=1.5cm]
- (1)
$\sigma(e)=\widetilde{e}$.
- (2)
$\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}$.
- (3)
$\sigma(a)$ 与
$a$ 的阶相同.
💡定理 1.7.12
- (1) 任意一个无限循环群都与
$(\Z,+)$ 同构;
- (2) 对于
$m>1$, 任意一个
$m$ 阶循环群都与
$(\Z_m,+)$ 同构;
- (3)
$1$ 阶循环群都与加法群
$\{0\}$ 同构.
💡定理 1.7.13
设 $m_1,m_2$ 是大于 $1$ 的整数, 则 $(\Z_{m_1}\oplus\Z_{m_2},+)$ 是循环群当且仅当 $(m_1,m_2)=1$.
❓练习 1.7.14
题目
证明: 若 $\Z_m^*$ 是循环群, 则 $\Z_m^*$ 的生成元个数等于 $\varphi(\varphi(m))$.
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$|\Z_m^*|=\varphi(m)$, 设 $a$ 是 $\Z_m^*$ 的生成元, 那么 $|a|=\varphi(m)$.
\则有 $b=a^k\in\Z_m^*$ 是生成元 $\Leftrightarrow |a^k|=\varphi(m)\Leftrightarrow \dfrac{\varphi(m)}{(\varphi(m),k)}\Leftrightarrow(\varphi(m),k)=1$.
题目
证明: 如果群 $G$ 的阶为偶数, 那么 $G$ 必有 $2$ 阶元.
📝证明
反设 $G$ 中没有 $2$ 阶元, 则对于 $G$ 中每个个非单位元 $a$ 都有 $a\neq a^{-1}$. 从而可以将 $G$ 的元素和对应的逆元两两配对, 也即除去单位元后元素个数为偶数, 所以总个数为奇数矛盾. 故 $G$ 中有 $2$ 阶元.