1.5 图形的对称群

图形的对称(性)群

我们一般用 $\tau$ 来表示图形关于直线反射(轴对称)的对称变换, 用 $\sigma$ 来表示关于图形中心旋转得到的对称变换.

用 $D_n$ 表示正 $n$ 边形的对称群.

当 $n=4$ 时, 正方形一共有四条对称轴对应 $\tau_1,\tau_2,\tau_3,\tau_4$, 且每转动 $90^\circ$ 都重合对应着 $\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\sigma_4=I$.

经过研究, $D_4=\{I,\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau_1,\tau_2,\tau_3,\tau_4\}$. 同时 $\tau_i$ 也可以由 $\sigma$ 和 $\tau_1$ 表示. 所以也可以把 $D_4$ 简单的记作 $$ D_4=\langle \sigma,\tau|\sigma^4=\tau^2=I,(\tau\sigma)^2=I\rangle. $$

类似的, 对于 $D_n$ 也可以记作 $\langle \sigma,\tau|\sigma^n=\tau^2=(\tau\sigma)^2=I\rangle$.

由于 $\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau=\sigma^{n-1}\tau\neq\sigma\tau$, 所以 $D_n$ 是非 \Abel 群.

我们称 $D_n$ 为二面体群, 且有 $|D_n|=2n$.