可解群,单群,Jordan-Holder定理

\section{可解群, 单群, \t{Jordan-Holder} 定理}

定义 1.4.1

称 $xyx^{-1}y^{-1}$ 为 $x,y$ 的换位子, 记作 $[x,y]$. 我们有 $$ xy=yx\Leftrightarrow xyx^{-1}y^{-1}=e. $$

定义 1.4.2

群 $G$ 的所有换位子组成的子集\tr{生成}的子群称为 $G$ 的换位子群或导群, 记作 $G'$ 或 $[G,G]$, 即 $$ G'=\langle{xyx^{-1}y^{-1}|x,y\in G}\rangle. $$ 立即可以得到 $$ G\ \t{是 Abel 群}\Leftrightarrow G'={e} $$

命题 1.4.3

设 $\sigma$ 是 $G$ 到 $\widetilde{G}$ 的一个同态, 则 $$ \tIm\sigma\ \t{为 Abel 群}\Leftrightarrow G'\subseteq \Ker\sigma. $$

证明

\begin{equation} \begin{aligned} \tIm\sigma\ \t{为 Abel 群} & \Leftrightarrow & \sigma(x)\sigma(y)=\sigma(y)\sigma(x),\quad\forall \sigma(x),\sigma(y)\in\tIm\sigma \ &\Leftrightarrow&\sigma(xy)\sigma(x)^{-1}\sigma(y)^{-1}=\widetilde{e}\ &\Leftrightarrow&\sigma(xyx^{-1}y^{-1})=\widetilde{e}\ &\Leftrightarrow&xyx^{-1}y^{-1}\Ker\sigma\ &\Leftrightarrow&{xyx^{-1}y^{-1}|x,y\in G}\subseteq\Ker\sigma \end{aligned} \end{equation} 又 $\Ker\sigma$ 也是一个群, 所以 $\{xyx^{-1}y^{-1}|x,y\in G\}\subseteq G'\subseteq \Ker\sigma$.

命题 1.4.4

$G'\lhd G$.

命题 1.4.5

$G/G'$ 是 \Abel 群.

命题 1.4.6

设 $N\lhd G$, 则 $$ G/N\ \t{为 Abel 群}\Leftrightarrow G'\subseteq N. $$

定义 1.4.7

设 $G$ 是一个群, $G'$ 的换位子群记作 $G^{(2)},\ldots,G^{(k-1)}$ 的换位子群记作 $G^{(k)},\ldots$. 如果存在正整数 $k$ 使得 $G^{(k)}=\{e\}$, 那么称 $G$ 是可解群, 否则称不可解群.

定理 1.4.8

群 $G$ 可解当且仅当存在 $G$ 的递降子群列: $$ G=G_0\rhd G_1\rhd G_2\rhd\cdots\rhd G_s={e}. $$ 并且每个商群 $G_{i-1}/G_i$ 都是 \Abel 群.

定理 1.4.9

可解群的每个子群和同态像都是可解群.

推论 1.4.10

可解群的商群是可解群.

定理 1.4.11

设 $N\lhd G$, 若 $N$ 和 $G/N$ 可解, 那么 $G$ 可解.

定义 1.4.12

如果群 $G$ 只有平凡的正规子群 $\{e\}$ 和 $G$, 那么称 $G$ 是单群.

定理 1.4.13

\Abel 群 $G$ 是单群当且仅当 $G$ 是素数阶循环群.

定理 1.4.14

若非 \Abel 群 $G$ 是单群, 则 $G$ 不可解.

定义 1.4.15

群 $G$ 的一个递降的子群列: \begin{equation} G=G_0\rhd G_1\rhd G_2\rhd\cdots\rhd G_r={e}, \end{equation} 称为 $G$ 的一个次正规子群列. 其商群组 \begin{equation} G_0/G_1,\quad G_1/G_2,\quad\cdots,\quad G_{r-1}/G_r \end{equation} 称为 \eqref{次正规子群列式} 的因子群组, 其中含有非单位元的因子群的个数称为 \eqref{次正规子群列式} 的长度.

定义 1.4.16

群 $G$ 的一个次正规子群列如果满足每个因子群都是单群, 那么称为合成群列.

命题 1.4.17

每个有限群至少有一个合成群列.

推论 1.4.18

有限群 $G$ 可解当且仅当存在次正规子群列满足每个因子群都是素数阶循环群.

定理 1.4.19 \t{Jordan-Holder} 定理

有限群 $G$ 的任意两个无重复项的合成群列有相同的长度, 并且其因子群组能用某种方法配对, 使得对应的因子群式同构的.

1.4 可解群,单群,Jordan-Holder定理