二阶及高阶微分方程

$n$ 阶方程的一般形式 \begin{equation} F(t,x,x',\ldots,x(n))=0. \end{equation} 当 $n\geqslant 2$ 时, 统称为高阶微分方程. 一般的 $n$ 阶微分方程的通解含有 $n$ 个独立的任意常数.

可降阶的高阶方程

不显含未知函数 $x$ 的方程

定义 1

更一般的, 设未知函数 $x$ 及其直到 $k-1$ 阶导数均不显含, 即形如 \begin{equation} F(t,x^{(k),x^{(k+1)},\ldots,x^{(n)}})=0. \end{equation}

考虑令 $x^{(k)}=y$, 就可把上述方程化为关于 $y$ 的 $n-k$ 阶方程 \begin{equation} F(t,y,y',\ldots,y^{(n-k)})=0. \end{equation} 如果能求得 $y=\varphi(t,c_1,c_2,\ldots,c_{n-k})$. 则对 $y$ 进行 $k$ 次积分即可得到 $x$.

不显含自变量 $t$ 的方程

定义 2

一般形式为 \begin{equation} F(x,x',\ldots,x^{(n)})=0. \end{equation}

考虑用 $y=x'$ 作为新的未知函数, 而把 $x$ 作为新的自变量, 因为 $$ \begin{aligned} \dfrac{\t d x}{\t d t} = y, \ \ \dfrac{\t d ^2 x}{\t d t^2}=\dfrac{\t d y}{\text{d} t}=\dfrac{\text{d} y}{\text{d} x}\dfrac{\text{d} x}{\text{d} t}=y\dfrac{\text{d} y}{\text{d} x} \ \ \dfrac{\text{d}^3 x}{\text{d} t^3}=y\left(\dfrac{\text{d} y}{\text{d} x}\right)^2+y^2\dfrac{\text{d}^2 y}{\text{d} x^2}, \ \cdots\cdots \end{aligned} $$

通过此方法可以将方程降低一阶.

全微分方程和积分因子

定义 3

若高阶微分方程可看作 $$ F(t,x,x',\ldots,x^{(n)})=\dfrac{\text{d}}{\text{d} t}\phi(t,x,x',\ldots,x^{(n-1)}). $$ 则称原方程是全微分方程. 并且 $\phi(t,x,x',\ldots,x^{(n-1)})=c_1$ 的通解也是原方程的通解.

类似的, 我们也可以选择适当的积分因子使原方程乘上积分因子后是全微分方程.

例 4

设 $y=a\t{ch}\dfrac x a=\dfrac a 2(e^{x/a}+e^{-x/a})$ 表示的曲线叫做悬链线.

线性微分方程的基本理论

线性微分方程的有关概念

定义 5

将未知函数 $x$ 及其各阶导数均为一次的 $n$ 阶方程称为 $n$ 阶线性微分方程. 它的一般形式是 \begin{equation} \dfrac{\text{d}^n x}{\text{d} t^n}+a_1(t)\dfrac{\text{d}^{n-1}x}{\text{d} t^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(t)\dfrac{\text{d} x}{\text{d} t}+a_n(t)x=f(t), \end{equation}

定理 6

如果方程 (\ref{线性微分方程}) 的系数 $a_i(t)$ 及右端函数 $f(t)$ 在区间 $a<t<b$ 上连续, 则对任一 $t_0\in(a,b)$ 及任意 $x_0,x_0^{(1)},\ldots,x_0^{(n-1)}$, 方程 (\ref{线性微分方程}) 存在唯一的解 $x=\varphi(t)$, 满足下列初始条件: $$ \varphi(t_0)=x_0,\quad \frac{\text{d}\varphi(t)}{\text{d} t}\Bigg|_{t=t_0}=x_0^{(1)}\cdots. $$

为了方便描述, 引入下述记号: \begin{equation} L[x] = \frac{\text{d}^n x}{\text{d} t^n}+a_1(t)\frac{\text{d}^{n-1}x}{\text{d} t^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(t)\frac{\text{d} x}{\text{d} t}+a_n(t)x, \end{equation} 并把 $L$ 称为线性微分算子.

性质 7

$L[cx]=cL[x]$, 其中 $c$ 是常数.

性质 8

$L[x_1+x_2] = L[x_1]+L[x_2]$.

齐次线性方程解的性质和结构

设齐次线性方程 \begin{equation} L[x] = 0 \end{equation}

定理 9 叠加原理

如果 $x_1(t),x_2(t),\ldots,x_k(t)$ 是方程 (\ref{齐次线性方程}) 的 $k$ 个解, 则它们的线性组合 $\sum\limits_{i=1}^k c_ix_i(t)$ 也是该方程的解.

线性齐次常系数方程

对于常系数微分方程 \begin{equation} \frac{\text{d}^n x}{\text{d} t^n}+a_1\frac{\text{d}^{n-1}x}{\text{d} t^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}\frac{\text{d} x}{\text{d} t}+a_nx=0. \end{equation}

称\begin{equation} F(\lambda):=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n = 0. \end{equation}

为 \eqref{齐次常系数微分方程} 的特征方程.