一阶微分方程

定理 1 解的存在唯一性

线性方程

[leftmargin=1.5cm] - (1) 线性齐次方程: 形如 $y'+p(x)y=0$. 考虑积分因子 $e^{\int p(x)\t d x}$.

其解为 $y=Ce^{-\int p(x)\t d x}$. - (2) 线性非齐次方程: 形如 $y'+p(x)y=g(x)$. 考虑如上积分因子.

其解为 $y=e^{-\int p(x)\t d x}(C+\int g(x)e^{\int p(x)\t d x} \t d x)$. - (3) $\t{Bernoulli}$ 方程: 形如 $y'+p(x)y=g(x)y^{\alpha}$.

当 $a\neq 0,1$ 时, 两边同乘 $y^{-a}$ 得 $$ y^{-a}y'+p(x)y^{1-a}=g(x) $$

引入新变量 $z=y^{1-a}$ 可得 $z'+(1-a)p(x)z=(1-a)g(x)$.

之后用线性方程求解即可.

变量可分离方程

[leftmargin=1.5cm] - (1) 变量可分离: 形如 $y'=f(x)g(y)$.

当 $g(y)\neq0$ 时, 可化为 $$ \dfrac{\t d y}{g(y)}=f(x) \t d x $$ 那么就可以对两边同时积分 $$ \int\dfrac{\t d y}{g(y)}=\int f(x)\t d x + C. $$

注: 该方法当 $g(y)=0$ 时一般会存在特解. - (2) 齐次方程: 形如 $\dfrac{\t d y}{\t d x}=F(\dfrac{y}{x})$.

引入新变量 $y=xz$, 则 $\frac{\t d y}{\t d x}=z+x\frac{\t d z}{\t d x}$.

可将方程变为 $$ z+x\frac{\t d z}{\t d x}=F(z) $$ 整理后即 $$ \frac{\t d z}{\t d x}=\frac{F(z)-z}{x}. $$ 这样就转化为了变量可分离方程. - (3) 线性分式方程: 形如 $$ \frac{\t d y}{\t d x}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}. $$

当 $$\det\left| \begin{aligned} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{aligned} \right|\neq 0$$ 即 $\exists\ x_0,y_0,\ s.t. a_1x_0+b_1y_0+c_1=0 \wedge a_2x_0+b_2y_0+c_2=0$.

那么就可以做变量替换 $x=u+x_0,y=v+y_0$.

整理后可得 $$ \frac{\t d v}{\t d u}=\frac{\t d y}{\t d x}=\frac{a_1u+b_1v}{a_2u+b_2v} $$ 再上下同时除以 $u$, 就可以得到转化为齐次方程.

全微分方程

定义 2

设 $u=F(x,y)$ 是一个连续可微得二元函数, 则它的全微分为 $$ \t d u=\t d F(x,y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}\t d x+\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\t d y. $$

定义 3

若有函数 $F(x,y)$, 使得 $$ \t d F(x,y)=M(x,y)\t d x+N(x,y)\t d y, $$ 则称 $$ M(x,y)\t d x+N(x,y)\t d y=0 $$ 为全微分方程, 此时解就为 $F(x,y)=C$.

定理 4

设函数 $M(x,y)$ 和 $N(x,y)$ 在一个矩形区域 $R$ 中连续且有连续得一阶偏导数, 则 $$ M(x,y)\t d x+N(x,y)\t d y=0 $$ 为全微分方程得充要条件是 $$ \frac{\partial M(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}. $$

当我们在 $R$ 中任取一点 $P(x_0,y_0)$ 就可以得到一个解 $$ F(x,y)=\int_{x_0}^x M(s,y)\t d s + \int_{y_0}^y N(x_0,s)\t d s. $$

积分因子

定义 5

如果有函数 $\mu(x,y)$ 使得方程 $$ \mu(x,y)M(x,y)\t d x+\mu(x,y)N(x,y)\t d y=0 $$ 是全微分方程, 则称 $\mu(x,y)$ 是积分因子.

定理 6

微分方程有一个仅依赖于 $x$ 的积分因子的充要条件是 $$ \dfrac{\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)} $$ 仅与 $x$ 有关. 且积分因子 $\mu(x,y)=\exp\left(\mint \dfrac{\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)} \t d x\right)$.

同理, 有一个仅依赖于 $y$ 的积分因子的充要条件是 $$ \dfrac{\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}-\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}}{M(x,y)} $$ 仅与 $y$ 有关.

常见积分因子: $$ \begin{aligned} x\t d y - y\t d x+xy\t d x=0, & \dfrac{1}{xy} \ &\ x\t d y - y\t d x+x^2\t d y=0, & \dfrac{1}{x^2} \ &\ x\t d y - y\t d x+y^2\t d y=0, & \dfrac{1}{y^2} \ &\ x\t d y - y\t d x+(x^2+y^2)\t d y=0, & \dfrac{1}{x^2+y^2} \end{aligned} $$

变量替换法

[leftmargin=1.5cm] - (1) 形如 $\dfrac{\t d y}{\t d x}=f(ax+by+c)$

引入变量 $z=ax+by+c$ 得到 $\dfrac{\t d z}{\t d x}=a+b\dfrac{\t d y}{\t d x}$.

可将方程化为 $$ \frac{\t d z}{\t d x}=a+bf(z). $$ 就变为了变量可分离方程, 其通解为 $$ \int\frac{\t d z}{a+bf(z)}=x+C. $$ - (2) 形如 $yf(xy)\t d x+xg(xy)\t d y=0$

引入变量 $z=xy$, 则 $\t d y=\dfrac{x\t d z-z\t d x}{x^2}$

原方程可化为 $$ \frac z x (f(z)-g(z))\t d x+g(z)\t d z=0. $$ 这是个变量可分离方程. - (3) $\t{Riccati}$ 方程. 形如 $$ \frac{\t d y}{\t d x}=p(x)y^2+q(x)y+f(x). $$

一阶隐式微分方程

[leftmargin=1.5cm] - (1) \t{Clairaut} 方程.