2024尤波
试题
一、(15 分) 设 $\{f_k(x)\}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的函数列, 记 $D$ 为 $\{f_k(x)\}$ 不收敛于 $f(x)$ 的点集, 试证明: $$ D=\bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty\left\lbrace x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\frac 1 k\right\rbrace. $$
二、(15 分) 设 $\{E_k\}$ 是递减可测集列且存在 $k_0\geqslant 1$ 满足 $m(E_{k_0})<+\infty$, 试证明 $$ \lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=m(\lim\limits_{k\to\infty} E_k). $$
三、(15 分) 设 $E$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的点集, 试证明: 若对任意的 $\varepsilon>0$, 均存在 $\mathbb{R}^n$ 中的开集 $G_1$, $G_2$ 满足 $E\subset G_1,E^c\subset G_2$ 且 $m(G_1\cap G_2)<\varepsilon$, 则 $E$ 是可测集.
四、(15 分) 设 $f(x)$ 是 $E$ 上的几乎处处有限可测函数, $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上的几乎处处有限可测函数列, 且 $f_k(x)\stackrel{\mae}{\longrightarrow}f(x)$. 若对任意的 $\varepsilon>0$, 均有 $$ \lim\limits_{j\to\infty}m\left(\bigcup\limits_{k=j}^\infty{x\in E:|f_k(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon}\right)=0, $$ 试证明: 对任意的 $\delta>0$, 均存在 $E$ 的可测子集 $e$, 满足 $m(e)<\delta$ 且 $\{f_k(x)\}$ 在 $E\setminus e$ 上一致收敛于 $f(x)$.
五、设 $E$ 上的可积函数列 $\{f_k(x)\}$ 满足 $$ \sum\limits_{k=1}^\infty\int_E |f_k(x)|\text{d} x<+\infty, $$ 试证明: $$ \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)\in L(E),\quad \sum\limits_{k=1}^\infty \int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)\text{d} x. $$
六、设 $f(x)$ 在 $E$ 上可积, 试证明: 对任意的 $\varepsilon>0$, 均存在 $\delta>0$, 只要 $E$ 的可测子集 $e$ 满足 $m(e)<\delta$, 就有 $$ \int_e|f(x)|\text{d} x<\varepsilon. $$
七、设 $f\in\mathrm{BV}([a,b])$ 且在 $x_0\in[a,b]$ 处连续, 试证明: $\bigvee\limits_{a}^x(f)$ 也在 $x_0$ 处连续.
参考解答
一、(15 分) 设 $\{f_k(x)\}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的函数列, 记 $D$ 为 $\{f_k(x)\}$ 不收敛于 $f(x)$ 的点集, 试证明: $$ D=\bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty\left\lbrace x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\frac 1 k\right\rbrace. $$
另一方面如果 $x\in \bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty\left\lbrace x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\frac 1 k\right\rbrace$ 那么就有 \ $\exists k_0,\text{s.t.} \forall N\geqslant 1,\exists n_0\geqslant N,|f_n(x)-f(x)|\geqslant \frac 1k$ 从而 $x\in D$.
证明
二、(15 分) 设 $\{E_k\}$ 是递减可测集列且存在 $k_0\geqslant 1$ 满足 $m(E_{k_0})<+\infty$, 试证明 $$ \lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=m(\lim\limits_{k\to\infty} E_k). $$
则有 $E_{k_0}\setminus E_k$ 是递增可测集列, 于是有
$$
\lim\limits_{k\to\infty}m(E_{k_0}\setminus E_k)=m(\lim\limits_{k\to\infty} E_{k_0}\setminus E_k)
$$
从而 $\lim\limits_{k\to\infty}m(E)-\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=m(E)-m(\lim\limits_{k\to\infty} E_k)$, 即 $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=m(\lim\limits_{k\to\infty} E_k)$.
证明
三、(15 分) 设 $E$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的点集, 试证明: 若对任意的 $\varepsilon>0$, 均存在 $\mathbb{R}^n$ 中的开集 $G_1$, $G_2$ 满足 $E\subset G_1,E^c\subset G_2$ 且 $m(G_1\cap G_2)<\varepsilon$, 则 $E$ 是可测集.
换句话说就是对任意的 $\varepsilon>0$, 存在开集 $G$ 满足 $m(G\setminus E)<\varepsilon\wedge E\subset G$. 于是我们取开集列 $\{G_k\}$ 满足 $E\subset G_k\wedge m(G_k\setminus E)<\frac 1 k$. 设 $G=\bigcap\limits_{k=1}^\infty$, 有 $G$ 是可测集. 又 $m(G\setminus E)\leqslant m(G_k\setminus E)<\frac 1 k,\ \forall k$, 于是 $m(G\setminus E)=0$, 即 $G\setminus E$ 可测, 故 $E=G\setminus(G\setminus E)$ 可测.
证明
四、(15 分) 设 $f(x)$ 是 $E$ 上的几乎处处有限可测函数, $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上的几乎处处有限可测函数列, 且 $f_k(x)\stackrel{\mae}{\longrightarrow}f(x)$. 若对任意的 $\varepsilon>0$, 均有 $$ \lim\limits_{j\to\infty}m\left(\bigcup\limits_{k=j}^\infty{x\in E:|f_k(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon}\right)=0, $$ 试证明: 对任意的 $\delta>0$, 均存在 $E$ 的可测子集 $e$, 满足 $m(e)<\delta$ 且 $\{f_k(x)\}$ 在 $E\setminus e$ 上一致收敛于 $f(x)$.
记 $E_k(\varepsilon)=\{x\in E:|f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}$, 由题设条件对 $i\geqslant 1$ 存在 $\{j_i\}$ 满足 $m\left(\bigcup\limits_{k=j_i}^\infty E_k(\frac 1i)\right)<\frac \delta{2^i}$ 于是设 $E_\delta=\bigcup\limits_{i=1}^\infty\bigcup\limits_{k=j_i}^\infty E_k(\frac 1i)$ 则有 $m(E_\delta)\leqslant\sum\limits_{i=1}^\infty m\left(\bigcup\limits_{k=j_i}^\infty E_k(\frac 1i)\right)=\delta$ 下证 $f(x)$ 在 $E\setminus E_\delta$ 上一致收敛. 于是 $\forall \varepsilon>0$, 取 $\frac 1 i<\varepsilon$, 则 $\forall k\geqslant j_i$ 有 $|f_k(x)-f(x)|<\varepsilon,\ \forall x\in E\setminus E_\delta$, 从而一致收敛.
证明
五、设 $E$ 上的可积函数列 $\{f_k(x)\}$ 满足 $$ \sum\limits_{k=1}^\infty\int_E |f_k(x)|\text{d} x<+\infty, $$ 试证明: $$ \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)\in L(E),\quad \sum\limits_{k=1}^\infty \int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)\text{d} x. $$
再令 $g_m(x)=\sum\limits_{k=1}^m f_k(x)$, 有 $|g_m(x)|\leqslant F(x)$ 于是由控制收敛定理可知
$$
\int_E f(x)\text{d} x = \int_E\lim\limits_{m\to\infty}g_m(x)\text{d} x=\lim\limits_{k\to\infty}\int_E g_m(x)\text{d} x = \sum\limits_{k=1}^\infty\int_E f_k(x)\text{d} x.
$$
证明
六、设 $f(x)$ 在 $E$ 上可积, 试证明: 对任意的 $\varepsilon>0$, 均存在 $\delta>0$, 只要 $E$ 的可测子集 $e$ 满足 $m(e)<\delta$, 就有 $$ \int_e|f(x)|\text{d} x<\varepsilon. $$
根据积分的定义, 存在可测简单函数 $0\leqslant\varphi(x)\leqslant f(x)$, 且 $\displaystyle\int_e f(x)\text{d} x-\int_e \varphi(x)\text{d} x<\frac \varepsilon 2$. 设 $\varphi(x)\leqslant M$, 取 $\delta=\varepsilon/(2M)$, 于是 $$
\begin{aligned}
\int_e f(x)\text{d} x&=\int_e f(x)\text{d} x-\int_e \varphi(x)\text{d} x+\int_e\varphi(x)\text{d} x\
&\leqslant \frac \varepsilon 2 + \int_E \varphi(x)\text{d} x \leqslant \varepsilon
\end{aligned}
$$
证明
七、设 $f\in\mathrm{BV}([a,b])$ 且在 $x_0\in[a,b]$ 处连续, 试证明: $\bigvee\limits_{a}^x(f)$ 也在 $x_0$ 处连续.
从而取 $\delta'=x_1$, 又 $\bigvee\limits_a^x(f)$ 单调, 则有 $|\bigvee\limits_a^x(f)-\bigvee\limits_a^{x_0}(f)|<\varepsilon,\forall x\in(x_0,x_0+\delta')$ 从而 $\bigvee\limits_a^x(f)$ 右连续, 同理可证其左连续.
证明