第九次
P159/2,5
P159/2: 试证明函数列 $\{\cos nx\}$ 在 $[-\pi,\pi)$ 不是依测度收敛于 $0$ 的.
证明
P159/5: 设 $f,g\in L(E), f_k,g_k\in L(E), |f_k(x)|\leqslant M (k=1,2,\cdots)$, $$ \int_E|f_k(x)-f(x)|\text{d} x\to 0,\ (k\to \infty), $$ $$ \int_E|g_k(x)-g(x)|\text{d} x\to 0,\ (k\to\infty), $$ 试证明 $$ \int_E|f_k(x)g_k(x)-f(x)g(x)|\text{d} x\to 0\ (k\to\infty). $$
我们可以在绝对值内加减一项 $f_k(x)g(x)$，然后利用三角不等式：
$$
|f_k(x)g_k(x) - f(x)g(x)| = |f_k(x)g_k(x) - f_k(x)g(x) + f_k(x)g(x) - f(x)g(x)|
$$
$$
\leqslant |f_k(x)(g_k(x) - g(x))| + |g(x)(f_k(x) - f(x))|
$$
$$
= |f_k(x)||g_k(x) - g(x)| + |g(x)||f_k(x) - f(x)|
$$
对这个不等式两边在集合 $E$ 上积分，我们得到：
$$
\int_E |f_k g_k - f g| \text{d}x \leqslant \int_E |f_k| |g_k - g| \text{d}x + \int_E |g| |f_k - f| \text{d}x
$$
现在，我们分别证明右边的两项积分在 $k \to \infty$ 时都趋于 0。 对于第一项 $\int_E |f_k(x)| |g_k(x) - g(x)| \text{d}x$，我们利用题目给出的条件 $|f_k(x)| \leqslant M$：
$$
\int_E |f_k(x)| |g_k(x) - g(x)| \text{d}x \leqslant \int_E M |g_k(x) - g(x)| \text{d}x = M \int_E |g_k(x) - g(x)| \text{d}x
$$
根据题设，我们有 $\int_E|g_k(x)-g(x)|\text{d}x\to 0$ 当 $k\to\infty$。因此，
$$
M \int_E |g_k(x) - g(x)| \text{d}x \to 0 \quad (k \to \infty)
$$
所以，不等式右边的第一项趋于 0。 对于第二项 $\int_E |g(x)| |f_k(x) - f(x)| \text{d}x$，我们需要多做一些工作。 首先，我们证明函数 $f(x)$ 几乎处处有界。因为 $f_k \to f$ 在 $L(E)$（即 $L^1(E)$）中，这蕴含着存在一个子序列 $\{f_{k_j}\}$，它在 $E$ 上几乎处处（pointwise almost everywhere）收敛于 $f$。也就是说，对几乎所有的 $x \in E$，有 $\lim_{j\to\infty} f_{k_j}(x) = f(x)$。
由于对所有的 $j$ 和 $x$ 都有 $|f_{k_j}(x)| \leqslant M$，那么对这个不等式取极限，我们得到 $|f(x)| = \lim_{j\to\infty} |f_{k_j}(x)| \leqslant M$ 对几乎所有的 $x \in E$ 成立。
因此，$|f_k(x) - f(x)| \leqslant |f_k(x)| + |f(x)| \leqslant M + M = 2M$ 几乎处处成立。 现在，我们来证明 $\lim_{k\to\infty} \int_E |g(x)| |f_k(x) - f(x)| \text{d}x = 0$。
令 $\varepsilon > 0$。因为 $g \in L(E)$，根据勒贝格积分的定义，存在一个有界可测函数 $\psi$（例如，一个简单函数），使得 $|\psi(x)| \le C$ 对于某个常数 $C>0$ 成立，并且满足：
$$
\int_E |g(x) - \psi(x)| \text{d}x < \frac{\varepsilon}{4M}
$$
现在我们分解这个积分：
$$
\int_E |g| |f_k - f| \text{d}x = \int_E |(g - \psi) + \psi| |f_k - f| \text{d}x \leqslant \int_E |g - \psi| |f_k - f| \text{d}x + \int_E |\psi| |f_k - f| \text{d}x
$$
我们分别处理这两个部分：
* 对于第一部分，利用我们之前得到的 $|f_k - f| \le 2M$ (a.e.)：
$$
\int_E |g - \psi| |f_k - f| \text{d}x \leqslant \int_E |g - \psi| (2M) \text{d}x = 2M \int_E |g - \psi| \text{d}x < 2M \cdot \frac{\varepsilon}{4M} = \frac{\varepsilon}{2}
$$
* 对于第二部分，利用 $\psi$ 的有界性 $|\psi(x)| \le C$：
$$
\int_E |\psi| |f_k - f| \text{d}x \le C \int_E |f_k - f| \text{d}x
$$
根据题设，$\int_E |f_k - f| \text{d}x \to 0$ 当 $k \to \infty$。所以，我们总可以找到一个足够大的正整数 $N$，使得当 $k > N$ 时，有
$$
\int_E |f_k - f| \text{d}x < \frac{\varepsilon}{2C}
$$
于是，对于 $k > N$，第二部分满足
$$
C \int_E |f_k - f| \text{d}x < C \cdot \frac{\varepsilon}{2C} = \frac{\varepsilon}{2}
$$ 将两部分合起来，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，我们找到了一个 $N$，使得当 $k > N$ 时，
$$
\int_E |g| |f_k - f| \text{d}x < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
$$
这根据极限的定义证明了
$$
\lim_{k\to\infty} \int_E |g(x)| |f_k(x) - f(x)| \text{d}x = 0
$$ 回到第一步中的不等式：
$$
0 \leqslant \int_E |f_k g_k - f g| \text{d}x \leqslant \underbrace{\int_E |f_k| |g_k - g| \text{d}x}{\to 0 \text{ as } k \to \infty} + \underbrace{\int_E |g| |f_k - f| \text{d}x}
$$
当 } k \to \infty$k \to \infty$ 时，不等式右边的两项都趋于 0，因此它们的和也趋于 0。根据夹逼定理（Squeeze Theorem），我们最终得出结论：
$$
\lim_{k\to\infty} \int_E|f_k(x)g_k(x)-f(x)g(x)|\text{d}x = 0
$$
证明完毕。
证明