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第七次

P190/2,3,4,5

P189/2: 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负可积, $f(0)=0$, 且 $f'(0)$ 存在, 试证明存在积分 $$ \int_{[0,+\infty)}\frac{f(x)}{x}\text{d} x. $$

证明

由 $f'(0)$ 存在, 即 $\lim\limits_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 于是对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$, 使得 $\forall x\in(0,\delta),|\frac{f(x)}{x}-f'(0)|<\varepsilon$.

于是有 $$ \int_{[0,+\infty)} \frac{f(x)}{x}\text{d} x=\int_{(0,\delta)}\frac{f(x)}x\text{d} x+\int_{[\delta,+\infty)}\frac{f(x)}{x}\text{d} x\leqslant \delta(f'(0)+\varepsilon)+\frac 1 \delta \int_{[0,+\infty)}f(x)\text{d} x<+\infty $$

P189/3: 设 $f(x)$ 是 $E\subset\mathbb{R}^n$ 上的非负可测函数. 若存在 $E_k\subset E$, $m(E\setminus E_k)<\frac 1 k$, 使得极限 $$ \lim\limits_{k\to\infty}\int_{E_k}f(x)\text{d} x $$ 存在, 试证明 $f(x)$ 在 $E$ 上可积.

证明

P189/4: 设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的非负可积函数, 令 $$ F(x)=\int_{(-\infty,x]}f(t)\text{d} t,\quad x\in\mathbb{R}. $$ 若 $F\in L(\mathbb{R})$, 试证明 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f(x)\text{d} x=0$.

证明

反设 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x)\text{d} x >0$, 那么一定存在 $x_0$, $\text{s.t.}$ $F(x_0)>0$. 否则 $F(x)\equiv 0$, 即 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) \text{d} x=0$.

于是 $\forall x\geqslant x_0$, 则 $\displaystyle\int_{R} F(x)\text{d} x\geqslant \int_{[x_0,+\infty)}F(x)\text{d} x\geqslant m([x_0,+\infty))F(x_0)=+\infty$. 矛盾.

P190/5: 设 $f_k(x)\ (k=1,2,\cdots)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的非负可积函数列. 若对任一可测集 $E\subset\mathbb{R}^n$, 都有 $$ \int_E f_k(x)\text{d} x\leqslant\int_E f_{k+1}(x)\text{d} x, $$ 试证明 $$ \lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)\text{d} x. $$

证明

由题设可知 $f_k(x)\leqslant f_{k+1}(x),\mae x\in \mathbb{R}^n$, 否则存在 $E$, 有 $m(E)>0,f_k(x)>f_{k+1}(x),\forall x\in E$, 于是 $\displaystyle\int_E f_k(x)\text{d} x> \int_E f_{k+1}(x)\text{d} x$ 矛盾.

又可数个零测集的并仍零测, 于是几乎处处渐升是对任意 $k$ 成立的.

于是根据 Beppo Levi 定理知 $$ \lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E \lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)\text{d} x $$