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第五次

P126: 2, 3, 4, 11, 14

P126/2: 设 $z=f(x,y)$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的连续函数, $g_1(x),g_2(x)$ 是 $[a,b]\subset\mathbb{R}$ 上的实值可测函数, 试证明 $F(x)=f(g_1(x),g_2(x))$ 是 $[a,b]$ 上的可测函数.

证明

设 $G_t=\{(x,y)|f(x,y)>t\},\ t\in\mathbb{R}$, 由 $f$ 连续, $(t,+\infty)$ 是开集可推出 $G_t=f^{-1}((t,+\infty))$ 是开集.

$\Rightarrow$ 可以用可数个不交的半开矩体表示 $G_t=\bigcup\limits_{n\geqslant 1}J_n,\ J_n=(a_n,b_n]\times(c_n,d_n]$.

$\Rightarrow\{x\in[a,b]|F(x)>t\}=\bigcup\limits_{n\geqslant 1}(\{x\in[a,b]|g_1(x)\in(a_n,b_n]\}\cap\{x\in[a,b]|g_2\in(c_n,d_n]\})$, 由 $g_1,g_2$ 是可测函数可知 $\{x\in[a,b]|F(x)>t\}$ 可测.

P126/3: 设 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上存在右导数, 试证明右导函数 $f_+'(x)$ 是 $[a,b)$ 上的可测函数.

证明

第一章例题可知若 $f(x)$ 右连续, 则其不连续点是零测集. 于是根据本题题设可知 $f(x)$ 的不连续点是零测集. 故 $f$ 是可测函数.

设 $g_n(x)=\dfrac {f(x+\frac 1 n)-f(x)}{\frac 1 n}$ 是可测函数, $f_+'(x)=\lim\limits_{n\to\infty}g_n(x)$ 逐点收敛, 于是 $f_+'(x)$ 也是可测函数

P126/4: 设 $f(x)$ 是 $E\subset\mathbb{R}^n$ 上几乎处处有限的可测函数, $m(E)<+\infty$, 试证明对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $E$ 上的有界可测函数 $g(x)$, 使得 $$ m({x\in E:|f(x)-g(x)|>0})<\varepsilon. $$

证明

利用局部有界化, 存在 $B\subset E$ 且 $m(E\setminus B)<\varepsilon$, 使得 $\dfrac 1 {k_0}\leqslant f(x)\leqslant k_0,\ \forall x\in B$. 则取 $g(x)=f(x)\Chi_{B}(x)$.

P127/11: 设 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, 且对任意的 $\varepsilon>0$, 存在开集 $G\subset \mathbb{R}^n$, $m(G)<\varepsilon$, 使得 $f\in C(\mathbb{R}^n\setminus G)$, 试证明 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数.

证明

设 $m(G_k)<\frac 1 k$, $G=\bigcap\limits_{k=1}^\infty G_k$. 则有 $m(G)\leqslant \frac 1 k,\forall k\geqslant 1$, 于是 $m(G)=0$.

$\mathbb{R}^n\setminus G=\bigcup\limits_{k=1}^\infty \mathbb{R}^n\cap G_k^c$. 又 $f\in C(\mathbb{R}^n\setminus G_k)$, 即 $f$ 在 $\mathbb{R}^n\setminus G_k$ 上可测, 按照定义, $f$ 在 $\mathbb{R}^n\setminus G$ 上有 $\{x\in \mathbb{R}^n\setminus G:f(x)>t\}=\bigcup\{x\in\mathbb{R}^n\setminus G_k:f(x)>t\}$ 可测, 于是 $f$ 在 $\mathbb{R}^n\setminus G$ 上可测. 又 $G$ 是零测集, 所以 $f$ 在 $G$ 上可测. 故 $f$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上可测.

P127/14: 设有定义在可测集 $E\subset\mathbb{R}^n$ 上的函数 $f(x)$, 且对任给的 $\delta>0$, 存在 $E$ 中的闭集 $F$, $m(E\setminus F)<\delta$, 使得 $f(x)$ 在 $F$ 上连续, 试证明 $f(x)$ 是 $E$ 上的可测函数.

证明

设 $F_k\subset E$ 满足 $m(E\setminus F_k)<\frac 1 k$, 记 $E_k=E\setminus F_k, G=\bigcap E_k$. 则有 $m(G)=0$. 考虑 $E\setminus G$, 有 $f(x)$ 在 $E\setminus E_k$ 上连续于是可测, 则 $f(x)$ 在 $E\setminus G$ 上可测 (同上题). 于是 $f(x)$ 在 $E$ 上可测.