第四次
P94/8,9,11,12,13;P107/1,2,3
P94/8: 设 ${E_k} $ 是 $[0,1]$ 中的可测集列, $m(E_k)=1\ (k=1,2,\cdots)$, 试证明
$$
m\left(\bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k\right)=1.
$$
📝证明
考虑
$$
m\left(\bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k\right)=m\left([0,1]\setminus \left(\bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k\right)^c\right)
$$
又有
$$
m\left(\left(\bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k\right)^c\right)=m\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k^c\right)\leqslant\sum\limits_{k=1}^\infty m(E_k^c)=\sum\limits_{k=1}^\infty m([0,1]\setminus E_k)=0,
$$
于是
$$
m\left(\bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k\right)=1.
$$
P94/9: 设 $E_1,E_2,\ldots,E_k$ 是 $[0,1]$ 中的可测集, 且有
$$
\sum\limits_{i=1}^k m(E_i)>k-1,
$$
试证明 $m\left(\bigcap\limits_{i=1}^k E_i\right)>0$.
📝证明
反设 $m\left(\bigcap\limits_{i=1}^k E_i\right)=0$, 那么有 $m\left(\bigcup\limits_{i=1}^k E_i^c\right)=1$, 于是
$$
1\leqslant \sum\limits_{i=1}^k m(E_i^c)=\sum\limits_{i=1}^k 1-m(E_i)
$$
整理得
$$
\sum\limits_{i=1}^k m(E_i)\leqslant k-1
$$
与题设矛盾, 故假设不成立.
P94/11: 设 $\{B_a\}_{a\in I}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一族开球, 记 $G=\bigcup\limits_{a\in I} B_a$. 若有 $0<\lambda<m(G)$, 试证明存在有限个互不相交的开球 $B_{a_1},B_{a_2},\ldots,B_{a_m}$, 使得
$$
\sum\limits_{k=1}^m m(B_{a_k})>\frac{\lambda}{3^n}.
$$
📝证明
由
$G$ 是开集, 存在紧集
$K\subset G$ 且
$m(K)>\lambda$, 于是有
$K$ 的有限子覆盖
$\{B_{a_i}\}$.
取其中直径最大的球, 记作 $B_{a_1}$, 然后将满足 $B_{a_i}\subset 3B_{a_1}$ 的 $B_{a_i}$ 移除. 在剩余开球中重复此过程, 直到没有剩余球.
考虑每次移除的开球的并集包含于 $3B_{a_j}$ 所以 $\bigcup\limits_{j}3 B_{a_j}$ 和剩余开球的并集仍为 $K$ 的覆盖.
于是有 $\sum\limits_{k=1}{m(3B_{a_k})}>m(K)>\lambda$ 即 $\sum\limits_{k=1}m(B_{a_k})>\dfrac{\lambda}{3^n}.$
P94/12: 设 $\{B_k\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中递减可测集列, $m^*(A)<+\infty$. 令 $E_k=A\cap B_k\ (k=1,2,\ldots),E=\bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k$, 试证明
$$
\lim\limits_{k\to\infty} m^(E_k)=m^(E).
$$
📝证明
设 $\widetilde{E}_k=A\cap B_k^c$, 则有 $\widetilde{E}_k$ 是递增集列, 于是 $\lim\limits_{k\to\infty}m^*(\widetilde{E}_k)=m^*(\lim\limits_{k\to\infty}{\widetilde{E}_k})$. 根据可测集的定义, $m^*(\widetilde{E}_k)+m^*(E_k)=m^*(A)$ 又 $E=A\cap\left(\bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k\right),\widetilde{E}=A\cap\left(\bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k\right)^c$. 所以
$$
m^(A)-\lim\limits_{k\to\infty}m^(E_k)=\lim\limits_{k\to\infty}m^(\widetilde{E}_k)=m^(\widetilde{E})=m^(A)-m^(E).
$$
P94/13: 设 $E\subset\mathbb{R}^n,H\supset E$ 且 $H$ 是可测集. 若 $H\setminus E$ 的任一可测子集皆为零测集, 试问: $H$ 是 $E$ 的等测包吗?
📝证明
取 $E$ 的等测包 $G$, 由 $E\subset G$, 可得 $H\setminus G\subset H\setminus E$, 又 $H\setminus G$ 可测, 于是 $m(H\setminus G)=0$, $m(H)\leqslant m(H\setminus G) + m(G)=m(G)=m^*(E)$. 由 $H\supset E$ 有 $m(H)\geqslant m^*(E)$, 于是 $m(H)=m^*(E)$, 即 $H$ 是 $E$ 的等测包.
P107/1: 设 $f(x)$ 定义在可测集 $E\subset \mathbb{R}^n$ 上. 若 $f^2(x)$ 在 $E$ 上可测, 且 $\{x\in E: f(x)>0\}$ 是可测集, 则 $f(x)$ 在 $E$ 上可测.
📝证明
对
$t>0$,
$\{x:f(x)>t\}=\{x:f(x)>0\}\cap \{x:f^2(x)>t^2\}$ 可测.
对 $t<0$, $\{x:f(x)>t\}=(E\setminus\{x:f^2(x)\geqslant t^2\})\cup\{x:f(x)>0\}$ 可测.
于是 $f(x)$ 可测.
P107/2: 记 $\mathscr F$ 为 $(0,1)$ 上的一个连续函数族, 则函数
$$
g(x)=\sup\limits_{f\in \mathscr F}{f(x)},\quad h(x)=\inf\limits_{f\in\mathscr F}{f(x)}
$$
是 $(0,1)$ 上的可测函数.
📝证明
利用上确界的性质及连续性证明 $\{x:g(x)>t\}$ 是开集, 从而说明可测性. 利用 $f$ 的连续性, 证明均为内点.
P107/3: 若 $\{f_k(x)\}$ 是 $E\subset\mathbb{R}^n$ 上的可测函数列, 则 $f_k(x)$ 在 $E$ 上收敛的点集是可测集.
📝证明
考虑收敛点集的定义
$$
\forall \varepsilon>0,\ \exists k_0,\text{s.t.} \forall k\geqslant k_0, |f_k(x)-f(x)|<\varepsilon
$$
于是我们设集合 $E_{n,k}=\{x\in E:|f_k(x)-f(x)|<\frac 1 n\}$, 那么收敛点集就可以表示成
$$
\bigcap\limits_{n=1}^\infty\bigcup\limits_{j=1}^\infty\bigcap\limits_{k=j}^\infty E_{n,k}
$$